五校自主招生考試數(shù)學(xué)考前密題-資料下載頁(yè)
2025-06-07 14:05本頁(yè)面
【正文】 到函數(shù)f(x)垂直于x軸的對(duì)稱軸,并證明你的結(jié)論。（Ⅲ）設(shè)使關(guān)于x的方程f(x)＝λ2x2－5恰有三個(gè)不同實(shí)根的實(shí)數(shù)λ的取值范圍為集合A,且兩個(gè)非零實(shí)根為xx2．試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|對(duì)任意t∈[－3，3], λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y軸上的截距為－5, ∴c＝－5.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減,∴x＝1時(shí)取得極大值，又當(dāng)x＝0，x＝2時(shí)函數(shù)f(x)取得極小值．∴x＝0，x＝1， x＝2為函數(shù)f(x)的三個(gè)極值點(diǎn)，即f39。(x)＝0的三個(gè)根為0，1，2，∴f 39。(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2))＝4x3－12x2＋8x.∴a＝－4，b＝4, ∴函數(shù)f(x)的解析式： f(x)＝x4－4x3＋4x2－5.（Ⅱ）解：若函數(shù)f(x)存在垂直于x軸的對(duì)稱軸,設(shè)對(duì)稱軸方程為x＝t,則f(t +x)＝f(t－x)對(duì)x∈R恒成立.即: (t +x)4－4(t +x)3＋4(t +x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5.化簡(jiǎn)得(t－1)x3+( t2－3 t +2)x＝0對(duì)x∈R恒成立.∴∴t＝1即函數(shù)f(x)存在垂直于x軸的對(duì)稱軸x＝1.（Ⅲ）解：x4－4x3＋4x2－5＝λ2x2－5恰好有三個(gè)不同的根，即x4－4x3＋4x2－λ2x2=0恰好有三個(gè)不同的根,即x2（x2－4x＋4－λ2）＝0，∵x＝0是一個(gè)根，∴方程x2－4x＋4－λ2＝0應(yīng)有兩個(gè)非零的不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝16－4(4－λ2)＝4λ20，且x1x2＝4－l2≠0，∴l(xiāng)≠0，－2，2．若存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|對(duì)任意t∈[－3，3], λ∈A恒成立.∵|x1－x2|＝＝2|l|＞0，要使m2＋tm＋2≤|x1－x2|對(duì)任意t∈[－3，3], λ∈A恒成立,只要m2＋tm＋2≤0對(duì)任意t∈[－3，3] 恒成立,令g(t)＝tm +m2＋2 , 則g(t)是關(guān)于t的線性函數(shù).∴只要解得∴不存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|對(duì)任意t∈[－3，3], λ∈A恒成立.第 5 頁(yè) 共 5
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