【正文】 0。 撓曲線的近似微分方程：EIy’’=（qlx/2qlx2/2）=qx2/2qlx/2 積分兩次 EIθ= EIy’=qx3/6qlx2/4+C （a） EIy=qx4/24qlx3/12+Cx+D （b） 剪支梁的邊界條件為x=0，yA=0；x=L，yB=0 將x=0，yA=0，代入式（b），得D=0 將x=L，yB=0，代入式（b），得C=ql3/24 再將C和D代入式（a）和（b），得轉(zhuǎn)角和撓度方程式 EIθ= EIy’=q（4x36lx2+l3）/24 （c） EIy=q（x42lx3+l3x）/24 （d） 由于梁及梁上荷載是對稱的，所以最大撓度發(fā)生在跨中，將x=L/2代入式（d）， 可求出最大撓度：f=5ql4/384EI， 將x=L代入式x=L，求出B截面的轉(zhuǎn)角：θB=ql3/24EI， θB為負(fù)值，表示B截面逆時針旋轉(zhuǎn)。 6. 簡支梁作用集中荷載P，如圖。梁的抗彎剛度為EI，求C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。 此題需要分兩段列出各自的彎矩方程式，因而在計(jì)算變形時，也要分段列出撓曲線近似微分方程，并分段積分。 解 支反力VA=pb/L，VB=pa/L 彎矩方程 AC段 M（x1）=pbx1/L （0≤x1≤a） CB段 M（x2）=pbx2/L （a≤x1≤L） AC與BC段的撓曲線近似微分方程及其積分 AC段 EIy’ ’1= M（x1）=Pbx1/L EIy’1= Pbx12+C1 EIy1= Pbx13/6L+C1x1+D1 CB段 EIy’ ’2= M（x2）= Pbx2/L+P（x2a） EIy’2= Pbx22/2L+P（x2a）2/2+C2 EIy2= Pbx23/6L+ P（x2a）3/6+C2x+D2 (4) 確定積分常數(shù) 積分常數(shù)有C1，C2，D1，D2四個，因此，除了兩個邊界條件 （1）x1=0，yA=0；（2） x2=0，yB=0以外，尚須考慮連續(xù)條件：在C點(diǎn)處既屬于AC段，又屬于CB段，而梁彎曲后的變形是連續(xù)的，因而從AC段的方程計(jì)算出C點(diǎn)撓度與轉(zhuǎn)角，應(yīng)該與由CB段方程算出的相等，即3）x1=x2=a，y1’=y2’，4）x1=x2=a，y1=y2，條件3）與4）稱變形的連續(xù)條件，通過以上四個條件，可求出四個積分常數(shù)。 根據(jù)條件3）可得：Pba2/2L+C1=Pba2/2L+C2 得：C1= C2 ， 根據(jù)條件4）Pba3/6L+ C1a +D1=Pba3/6L+ C2 +D2 得：D1= D2， 將條件1）代入式（b），得D1=0。將條件2）代入式（d）得： P（La）3/6PbL3/6L+C2L=0 故C2=Pb（L2b2）/6L 轉(zhuǎn)角方程和撓度方程式 將積分常數(shù)代入式（a），（b），（d）即可得到AC段和CB段的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程式： AC段 θ1= y’=Pb（L2b23x12）/6LEI （0≤x1≤a） （e） y1=Pbx1（L2b23x12）/6LEI （0≤x1≤a） （f） CB段 θ2= y2’=[Pb（L2b23x22）/6L+P（x2a）2/2]/EI （a≤x2≤L） （g） y2=Pbx1（L2b23x12）/6LEI （a≤x2≤L） （h） 求yc 和θA 將x1=a代入式（f），或?qū)2=a代入式（h），便可得到C截面的撓度 yC= Pab（L2b2a2）/6LEI 將x1=0代入式（e），得A截面的轉(zhuǎn)角θA= Pb（L2b2）/6LEI 通過轉(zhuǎn)角方程，可定出最大撓度所在截面位置，即轉(zhuǎn)角等于零處撓度有極值，從而求出最大撓度數(shù)值。但是在工程上，當(dāng)撓曲線無拐點(diǎn)時，可由中點(diǎn)撓度近似地代替最大撓度，二者數(shù)值很接近，這樣可節(jié)省計(jì)算工程量。7. 單軌吊車梁計(jì)算簡圖，如圖所示，起重量為P，吊車梁自重為q。試用疊加法求梁的最大撓度。 單跨吊車梁可簡化為簡支梁，當(dāng)?shù)踯囆旭偟搅褐悬c(diǎn)起吊重物時，梁的撓度最大，最大撓度發(fā)生在梁的中點(diǎn)?？梢允褂帽砀穹謩e查出p和q作用下的撓度。 解 在均布荷載q作用下的跨中撓度 fq=5qL4/384EI 在集中荷載作用P作用下，梁的中點(diǎn)撓度 fp=pL3/48EI 應(yīng)用疊加法，求q和P共同作用下的中點(diǎn)最大撓度 f=fq+fp= 5qL4/384EI+ pL3/48EI8. 用疊加法求圖示梁的撓度fB和θB。 解 查表得 yc=qa4/8EI，θC= qa3/6EI θB=θC= qa3/6EI fB=yb1+ yb2=yc+θCb= qa4/8EI+ qa3/6EIb=qa3（3a+4b）/24EI 9. 試校核例4中桁條的剛度。已知桁條的跨度L=,均布荷載q=,圓木徑d=,木材彈性模量E=104Mpa,桁條的相對允許撓度[f/L]=1/200。 解 桁條可簡化為均布荷載作用下的簡支梁，查表得最大撓度的計(jì)算式為 f=5qL4/384EI，式中，I= ， =895cm4 校核該桁條的剛度 f/L=5qL4/384EIL=5qL3/384EI = =1/[f/L]=1/200 說明桁條雖然滿足了強(qiáng)度條件,但剛度條件不滿足,需增大截面尺寸。10. 圖 示的簡支剛架，已知B支座水平方向移動了5cm，鉛直向下沉陷了6 cm，求C點(diǎn)水平線位移△HC 。 解（1）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖所示，即在所求的C點(diǎn)沿所求方向上加單位力Pi=1，求出各支座反力的大小和方向。 （2）代入式△ic=ΣiC（，并注意式中反力與位移的對應(yīng)關(guān)系，得 △HC = –ΣiC = –（15 6）=9 cm （→） 11. 圖示桁架，B支座鉛直向下沉陷b，求桿BC的轉(zhuǎn)角。 解（1）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖所示，即在所求的C點(diǎn)沿所求方向上加單位力Pi=1，求出各支座反力的大小和方向。 （2）代入式△ic=ΣiC（，并注意式中反力與位移的對應(yīng)關(guān)系，得 △HC = –ΣiC = –（15 6）=9 cm （→）12. 圖所示簡支梁，在均布荷載q作用下，EI為常數(shù)。試求：（1）B支座處的轉(zhuǎn)角；（2）梁跨中C點(diǎn)的豎向線位移。 解（1）求B截面的角位移 在B截面處加一單位力偶Mi=1，建立虛設(shè)狀態(tài)如圖b。 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別列出荷載作用和單位力偶作用下的彎矩方程為 фB 的結(jié)果為負(fù)值,表示其方向與所加的單位力偶方向相反,即B截面逆時針轉(zhuǎn)動。 (2)求跨中C點(diǎn)的豎向線位移 在C點(diǎn)加一單位力Pi=1,建立虛設(shè)狀態(tài)如圖c所示, 分別列出荷載作用和單位力作用下的彎矩方程。 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)0≤X≤ 時,有： ΔV C 的結(jié)果為正值,表示C點(diǎn)豎向線位移方向與單位力方向相同，即C點(diǎn)位移向下。13. 圖示圓弧曲桿,各截面的EI=常數(shù),求B點(diǎn)豎向線位移ΔV B 。(略去軸向變形的影響) 解(1)建立虛設(shè)狀態(tài),如圖b所示。 (2)取脫離體如圖c所示，分別列出位移狀態(tài)和虛設(shè)狀態(tài)任一截面的彎矩方程式為 Mp =Prsinθ 14. 試求圖示桁架結(jié)點(diǎn)C的豎向線位移，已知各桿的EA都相同且為常數(shù). 解(1)建立虛設(shè)狀態(tài)如圖b所示。即在結(jié)點(diǎn)C加一單位力Pi=1。 (2)計(jì)算位移和虛設(shè)狀態(tài)各桿的軸力， 由于桁架及其荷載均為對稱,故只需計(jì)算一半桁架的內(nèi)力。 計(jì)算結(jié)果寫在圖中各桿上。 (3)將各桿的Np和Ni代入式 15. 試求圖所示在全跨的均布荷載作用下,簡支梁跨中C點(diǎn)的豎向線位移ΔV C 。EI為常數(shù) . 解 (1)建立虛設(shè)狀態(tài),即在所求的C點(diǎn)加單位力Pi=1,如圖所示。 (2)分別作荷載彎矩圖Mp和單位力的彎矩圖 ,如圖c,d (3)進(jìn)行圖相乘,則得 16. 試求圖所示的梁在已知荷載作用下，A截面的角位移ФA及C點(diǎn)的豎向線位移ΔV C 。EI為常數(shù)。 解（1）分別建立在 =1及Pi=1作用下的虛設(shè)狀態(tài)，如圖c，d所示。 (2)分別作荷載作用和單位力作用下的彎矩圖,如圖b,c,d。 (3),則得 ФA = 結(jié)果為負(fù)值,表示ФA的方向與假設(shè) =1的方向相反. 計(jì)算ΔV C 時,將b圖和d圖相乘,這里必須注意的是：Mp圖中BC段的彎矩圖是非標(biāo)準(zhǔn)拋物線,所以,圖乘時不能直接代入公式,應(yīng)將此部分的面積分解為兩部分,然后疊加,則得 17. 圖示的剛架，各桿的EI均相等,并為常數(shù)。試求C,D兩點(diǎn)之間的相對水平位移。 解(1)在C,D兩點(diǎn)處加一對方向相反的水平單位力Pi=1,建立虛設(shè)狀態(tài)如圖c： (2)分別作Mp圖及 圖,如圖b, c所示： Mp圖中AC,BD兩桿的彎矩圖是三次拋物線。 (3)將圖b與圖c相乘,則得 結(jié)果為負(fù)值,說明實(shí)際兩點(diǎn)相對位移的方向與所加單位力Pi=1的方向相反.18. 圖示結(jié)構(gòu)各桿的截面相同且與形心軸對稱,各桿線膨脹系數(shù)為α,截面高度為h，試求當(dāng)只有內(nèi)側(cè)的溫度升高10186。C時,在C點(diǎn)所產(chǎn)生的豎向線位移. 解(1)建立虛設(shè)狀態(tài),即在C點(diǎn)豎向加單位力Pi=1,如圖b,c所示， (2)在單位力作用下,分別作 圖和 圖,如圖b,c所示， 圖中虛線所示的弧形表示桿件在溫度變化及單位力作用下桿件的彎曲方向，從圖中可知,兩端彎曲變形方向相反,所以公式中乘積取負(fù)值；同樣AB桿的軸向變形方向也是相反,也取負(fù)值。 (3)計(jì)算各桿軸線處的溫度和各桿兩側(cè)溫度差,得 t = (t1+t2)= 10186。/2 = 5186。 t185。= |0176。 10176。|= 10176。 溫差、單位力引起的 等均取絕對值，因正負(fù)號將由兩種狀態(tài)下各桿相對應(yīng)的變形方向來決定。Δit =ΔV C = Σαt + Σ = = (↑) C點(diǎn)的實(shí)際位移方向與Pi=1方向相反，即C點(diǎn)位移向上。