【正文】 )187。第五章 信號處理初步51 求h(t)的自相關(guān)函數(shù)。eh(t)= {at(t179。0,a0) (t0)解：這是一種能量有限的確定性信號，所以Rh(t)=242。165。165。h(t)h(t+t)dt=242。165。0eatea(t+t)dt=12aeat 52 假定有一個信號x(t)，它由兩個頻率、相角均不相等的余弦函數(shù)疊加而成，其數(shù)學(xué)表達式為 x(t)=A1cos(w1t+j1)+ A2cos(w2t+j2) 求該信號的自相關(guān)函數(shù)。解：設(shè)x1(t)=A1cos(w1t+j1)；x2(t)= A2cos(w2t+j2)，則Rx(t)=lim12T12TT174。165。242。242。TTTT[x1(t)+x2(t)][x1(t+t)+x2(t+t)]dtx1(t)x1(t+t)dt+lim12TT174。165。 =limT174。165。242。TTx1(t)x2(t+t)dt 2T2T=Rx1(t)+Rx1x2(t)+Rx2x1(t)+Rx2(t)T174。165。TT174。165。+lim1242。Tx2(t)x1(t+t)dt+lim1242。TTx2(t)x2(t+t)dt因為w1185。w2，所以Rxx(t)=0，Rxx(t)=0。1221又因為x1(t)和x2(t)為周期信號，所以Rx1(t)==1T12A1242。T10A1cos(w1t+j1)A1cos[w1(t+t)+j1]dtT1 242。{cos[w1t+j1+w1(t+t)+j1]cos[w1t+j1w1(t+t)j1]}dtT1022T1A1233。T1249。=cos2wt+wt+2jdt+cos(wt)dt()1111242。0235。242。02T1234。=0+A12T11 2T1tcos(w1t) =A122cos(w1t)同理可求得Rx(t)=1A222cos(w2t)22所以Rx(t)=Rx(t)+Rx(t)=12A12cos(w1t)+A22cos(w2t)53 求方波和正弦波（見圖524）的互相關(guān)函數(shù)。 解法1：按方波分段積分直接計算。Rxy(t)= 242。x(t)y(t+t)dt=T242。0x(tt)y(t)dtT0T3T1233。4=234。242。(1)sin(wtwt)dt+242。T41gsin(wtwt)dt+T235。042=sin(wt)p1T1T242。T3T4249。(1)sin(wtwt)dt解法2：將方波y(t)展開成三角級數(shù)，其基波與x(t)同頻相關(guān)，而三次以上諧波與x(t)不同頻不相關(guān)，不必計算，所以只需計算y(t)的基波與x(t)的互相關(guān)函數(shù)即可。y(t)=4230。11246。coswtcos3wt+cos5wtLL231。247。p232。35248。 Rxy(t)=1T242。T0x(t)y(t+t)dt=1T242。T0所以=4T2233。T=sin(2wt+wt)dtsin(wt)dt249。242。242。0235。0pT234。22=[0Tsin(wt)]=sin(wt)pTppT242。T012230。4sin(wt)231。232。p246。247。cos(wt+wt)dt248。[sin(wt+wt+wt)+sin(wtwtwt)]dt 解法3：直接按Rxy(t)定義式計算(參看下圖)。Rxy(t)= 242。x(t)y(t+t)dtT0T1233。4t=234。242。(1)sin(wt)dt+0T235。2=sin(wt)p1T3T242。4T4tt1gsin(wt)dt+249。(1)sin(wtwt)dt242。3Tt4Ty(t 參考上圖可以算出圖中方波y(t)的自相關(guān)函數(shù)4T236。1t0163。t163。239。T2239。4T Ry(t)=237。t3163。t163。TT2239。239。238。Ry(t+nT)n=0,177。1,177。2,LL 54 某一系統(tǒng)的輸人信號為x(t)（見圖525），若輸出y(t)與輸入x(t)相同，輸入的自相關(guān)函數(shù)Rx(t)和輸入—輸出的互相關(guān)函數(shù)Rx(t)之間的關(guān)系為Rx(t)=Rxy(t+T)，試說明該系統(tǒng)起什么作用？ 方波的自相關(guān)函數(shù)圖圖525 題54圖 解：因為Rx(t)=Rxy(t+T) 所以lim1TT174。165。242。T0x(t)x(t+t)dt=lim1TT174。165。242。T0x(t)y(t+t+T)dt所以x(t+t)=y(t+t+T)令t1 = t+t+T，代入上式得 x(t1 T)=y(t1)，即y(t) = x(t T)結(jié)果說明了該系統(tǒng)將輸入信號不失真地延遲了T時間。 55 試根據(jù)一個信號的自相關(guān)函數(shù)圖形，討論如何確定該信號中的常值分量和周期成分。解：設(shè)信號x(t)的均值為mx，x1(t)是x(t)減去均值后的分量，則 x(t) = mx + x1(t)Rx(t)=lim1T1T174。165。242。242。T0Tx(t)x(t+t)dt=lim1TT174。165。242。[m Tx+x1(t)][mx+x1(t+t)]dt =limT0TT1233。T2=limmxdt+242。mxx1(t)dt+242。mxx1(t+t)dt+00T174。165。T234。235。242。022=mx+0+0+Rx1(t)=mx+Rx1(t)T174。165。233。mx2+mxx1(t)+mxx1(t+t)+x1(t)x1(t+t)249。dt235。 242。T0x1(t)x1(t+t)dt249。如果x1(t)不含周期分量，則limRx(t)=0，所以此時limRx(t)=mx2；如果x(t)含t174。165。1t174。165。周期分量，則Rx(t)中必含有同頻率的周期分量；如果x(t)含幅值為x0的簡諧周期分量，則Rx(t)中必含有同頻率的簡諧周期分量，且該簡諧周期分量的幅值為x02/2； 根據(jù)以上分析結(jié)論，便可由自相關(guān)函數(shù)圖中確定均值（即常值分量）和周期分量的周期及幅值，參見下面的圖。例如：如果limRx(t)=C，則mx=。 t174。165。含有簡諧周期分量的自相關(guān)函數(shù)的圖 56 已知信號的自相關(guān)函數(shù)為Acoswt，請確定該信號的均方值yx2和均方根值xrms。解：Rx(t)=Acoswt yx2= Rx(0)=Axrms==165。57 應(yīng)用巴塞伐爾定理求242。sinc2(t)dt積分值。165。解：令x(t)=sinc(t)，其傅里葉變換為236。239。pX(f)=237。239。238。02p其他1163。f163。12p 根據(jù)巴塞伐爾定理得242。165。165。sinc(t)dt=2242。165。165。x(t)dt=2242。165。165。X(f)df=21242。2p12ppdf=p231。22230。1232。2p+1246。247。=p2p248。 58 對三個正弦信號x1(t)=cos2pt、x2(t)=cos6pt、x3(t)=cos10pt進行采樣，采樣頻率fs=4Hz，求三個采樣輸出序列，比較這三個結(jié)果，畫出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采樣點位置，并解釋頻率混疊現(xiàn)象。 解：采樣序列x(n)N1N11N1s x1(n)=229。x(t)d(tnTn=0)=s229。cos(2pnT)d(tnTn=0)=s229。cos231。n=0n230。np246。d(t)247。4232。2248。 采樣輸出序列為：1，0，1，0，1，0，1，0，188。188。 x2(n)=n230。3np246。cosd(t) 229。231。2247。4232。248。n=0N1采樣輸出序列為：1，0，1，0，1，0，1，0，188。188。 x2(n)=n230。5np246。cosd(t) 229。231。2247。4232。248。n=0N1采樣輸出序列為：1，0，1，0，1，0，1，0，188。188。x1(x2(x3( 從計算結(jié)果和波形圖上的采樣點可以看出，雖然三個信號頻率不同，但采樣后輸出的三個脈沖序列卻是相同的，這三個脈沖序列反映不出三個信號的頻率區(qū)別，造成了頻率混疊。原因就是對x2(t)、x3(t)來說，采樣頻率不滿足采樣定理。