【導(dǎo)讀】三角函數(shù)的有理式積分：。-α-sinαcosα-tgα-ctgα。90°-αcosαsinαctgαtgα。·和差角公式：·和差化積公式：?！　　　　　　　　　　　　?amp;#183;反三角函數(shù)性質(zhì)：arcctgxarctgxxx????高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲公式：。中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：。拉格朗日中值定理。時，柯西中值定理就是當(dāng)。其中弧微分公式：

　　

【正文】 ??????? , , , 1111 ???? ?? 矩陣的秩的簡單性質(zhì) ? ? ? ?nmAr ,m in0 ?? ? ? 00 ??? AAr A 行滿秩： ? ? mAr ? A 列滿秩： ? ? nAr ? n 階矩陣 A 滿秩： ? ? nAr ? A 滿秩 A? 的行（列）向量組線性無關(guān) 0??A A? 可逆 0??Ax 只有零解， ??Ax 唯一解。 矩陣在運算中秩的變化 初等變換保持矩陣的秩 ① ? ? ? ?ArAr T ? ② 0?c 時， ? ? ? ?ArcAr ? ③ ? ? ? ? ? ?BrArBAr ??? ④ ? ? ? ? ? ?? ?BrArABr ,m in? ⑤ A 可逆時， ? ? ? ?BrABr ? 弱化條件： 如果 A 列滿秩，則 ? ? ? ?BAB ?? ? 證：下面證 0?ABx 與 0?Bx 同解。 ? 是 0?ABx 的解 0?? ?AB ?? ??? 0B 是 0?Bx 的解 B 可逆時， ? ? ? ?ArABr ? ⑥若 0?AB ，則 ? ? ? ? nBrAr ?? （ A 的列數(shù)， B 的行數(shù)） ⑦ A 列滿秩時 ? ? ? ?BrABr ? B 行滿秩時 ? ? ? ?ArABr ? ⑧ ? ? ? ? ? ?BrArnABr ??? 解的性質(zhì) 1． 0?Ax 的解的性質(zhì)。 如果 e??? , 21 ? 是一組解，則它們的任意線性組合 eeccc ??? ??? ?2211 一定也是解。 ? ? 00, 2211 ??????? eeii cccAA ???? ? 2． ? ?0?? ??Ax ①如果 e??? , 21 ? 是 ??Ax 的一組解，則 eeccc ??? ??? ?2211 也是 ??Ax 的解 121 ????? eccc ? eeccc ??? ??? ?2211 是 0?Ax 的解 021 ????? eccc ? iA i ????? ? ? eeee AcAcAccccA ?????? ??????? ?? 22112211 ? ??eccc ???? ?21 特別的： 當(dāng) 21,?? 是 ??Ax 的兩個解時， 21 ??? 是 0?Ax 的解 ②如果 0? 是 ??Ax 的解，則 n 維向量 ? 也是 ??Ax 的解 0???? 是 0?Ax 的解。 解的情況判別 方程： ??Ax ，即 ???? ???? nnxxx ?2211 有解 n???? , 21 ??? ? ? ? ?AA ??? ?? | ? ? ? ?nn ????????? ,, 2121 ?? ?? 無解 ? ? ? ?AA ??? ?? | 唯一解 ? ? ? ? nAA ??? ??? | 無窮多解 ? ? ? ? nAA ??? ??? | 方程個數(shù) m ： ? ? ? ? mAmA ?? ??? ,| ①當(dāng) ? ? mA?? 時， ? ? mA ??? | ，有解 ②當(dāng) nm? 時， ? ? nA?? ，不會是唯一解 對于齊次線性方程組 0?Ax ， 只有零解 ? ? nA ??? （即 A 列滿秩） （有非零解 ? ? nA ??? ） 特征值特征向量 ? 是 A 的特征值 ?? 是 A 的特征多項式 AxE? 的根 。 兩種特殊情形： （ 1） A 是上（下）三角矩陣，對角矩陣時，特征值即對角線上的元素。 ????????????321 00 0** ???A ? ?? ?? ?321321 00 0** ??????????????????? xxxxxxAxE （ 2） ? ? 1?Ar 時： A 的特征值為 ? ?Atr,0,0,0 ? 特征值的性質(zhì) 命題： n 階矩陣 A 的特征值 ? 的重數(shù) ? ?AErn ??? ? 命題：設(shè) A 的特征值為 n , , 21 ??? ? ，則 ① An? 21 ??? ? ② ? ?Atrn ???? 21 ??? ? 命題：設(shè) ? 是 A 的特征向量，特征值為 ? ，即 ????A ，則 ①對于 A 的每個多項式 ??Af ， ? ? ? ??? xfAf ? ②當(dāng) A 可逆時， ??? 11 ??A ， ??? ||* AA ? 命題：設(shè) A 的特征值為 n , 2 1 ??? ? ，則 ① ??Af 的特征值為 ? ? ? ? ? ?nfff , 2 1 ??? ? ② A 可逆時， 1?A 的特征值為n 1,1, 12 1 ??? ? *A 的特征值為nAAA 2 1||,||, || ??? ? ③ TA 的特征值也是 n , , 21 ??? ? 特征值的應(yīng)用 ① 求行列式 nA , || 2 1 ??? ?? ② 判別可逆性 ? 是 A 的特征值 EAAE 0 ?? ????? 不可逆 EA ?? 可逆 ?? 不是 A 的特征值 。 當(dāng) ? ? 0?Af 時，如果 ?? 0?cf ，則 cEA? 可逆 若 ? 是 A 的特征值，則 ???f 是 ??Af 的特征值 ? ? 0?? ?f 。 ? ? ccf ?? 0 不是 A 的特征值 AcE? 可逆。 n 階矩陣的相似關(guān)系 當(dāng) UAAU? 時， AB? ，而 UAAU? 時， AB? 。 相似關(guān)系有 i） 對稱性 ： ABBA ~~ ? BAUU ??1 ，則 1??UBUA ii） 有傳遞性 ： BA~ ， CB~ ，則 CA~ BAUU ??1 ， CBVV ??1 ，則 ? ? ? ? CBVVA U VUVUVAUV ??? ???? 1111 命題 當(dāng) BA~ 時， A 和 B 有許多相同的性質(zhì) ① BA? ② ? ? ? ?BA ?? ? ③ A ， B 的特征多項式相同，從而特征值完全一致。 A 與 B 的特征向量的關(guān)系： ? 是 A 的屬于 ? 的特征向量 ?1??U 是 B 的屬于 ? 的特征向量 。 ? ? ? ?? ?????????????1111111 ?????????????UA U UUUAUUUBA?? 正定二次型與正定矩陣性質(zhì)與判別 可逆線性變換替換保持正定性 ? ?nxxxf , 21 ? 變?yōu)?? ?nyyyg , 21 ? ，則它們同時正定或同時不正定 BA?~ ，則 A ， B 同時正定，同時不正定 。 例如 ACCB T? 。如果 A 正定，則對每個 0?x ? ? 0??? A C xCxA C xCxBxx TTTT （ C 可逆， 0?x ， 0??Cx ?。? 我們給出關(guān)于正定的以下性質(zhì) A 正定 EA?? ~ ? 存在實可逆矩陣 C ， CCA T? 。 A? 的正慣性指數(shù) n? 。 A? 的特征值全大于 0 。 A? 的每個順序主子式全大于 0 。 判斷 A 正定的三種方法： ①順序主子式法。 ②特征值法。 ③定義法。 基本概念 對稱矩陣 AAT ? 。 反對稱矩陣 AAT ?? 。 簡單階梯形矩陣 ：臺角位置的元素都為 1 ，臺角正上方的元素都為 0。 如果 A 是一個 n 階矩陣， A 是階梯形矩陣 ? A 是上三角矩陣，反之不一定 矩陣消元法： （ 解的情況 ） ①寫出增廣矩陣 ? ??A ，用初等行變換化 ? ??A 為階梯形矩陣 ? ??B 。 ②用 ? ??B 判別解的情況。 i）如果 ? ??B 最下面的非零行為 ? ?d0,0? ，則無解，否則有解。 ii）如果有解，記 ? 是 ? ??B 的非零行數(shù)，則 n? ? 時唯一解。 n?? 時無窮多解。 iii）唯一解求解的方法（初等變換法） 去掉 ? ??B 的零行，得 ? ?00 ?B ，它是 ? ?n ?? 矩陣， 0B 是 n 階梯形矩陣，從而是上三角矩陣。 則 0 ?nnb iinn bb ???? ?? 01 1 都不為 0 。 ? ? ? ? ? ??? ErBA ? ??? ?? 行行 ? 就是解。 一個 n 階行列式nnnnnnaaaaaaaaa???????212222111211的值： ①是 !n 項的代數(shù)和 ②每一項是 n 個元素的乘積，它們共有 !n 項 nnjjj aaa ?21 21其中 njjj ?21 是 n,2,1 ? 的一個全排列。 ③nnjj aa ?11 前面乘的應(yīng)為 ? ? ? ?njjj ?211?? ? ?njjj ?21? 的逆序數(shù) ? ? ? ?? ??nnnjjjnjjjjjj aaa?? ?212121 211 ? ? ?? ? ? ?2 1211 2 ???? nnCnn n?? 代數(shù)余子式 ijM 為 ija 的余子式。 ? ? ijjiij MA ??? 1 定理：一個行列式的值 D 等于它的某一行（列），各元素與各自代數(shù)余子式乘積之和。 nn AaAaAaD 2222222121 ???? ? 一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應(yīng)元素代數(shù)余子式之和為 0 。 范德蒙行列 式 ????jiijn aaaaa )(11111 ?? 2nC 個 乘法相關(guān) AB 的 ? ?ji, 位元素是 A 的第 i 行和 B 的第 j 列對應(yīng)元素乘積之和。 njinjijiij bababaC ???? ?2211 乘積矩陣的列向量與行向量 （ 1）設(shè) nm? 矩陣 ? ?nA ??? , 21 ?? ， n 維列向量 ? ?Tnbbb , 21 ??? ，則 nnbbbA ???? ???? ?2211 矩陣乘法 應(yīng)用于方程組 方程組的矩陣形式 ??Ax ， ? ?? ?Tmbbb , 21 ??? 方程組的 向量形式 ???? ???? nnxxx ?2211 （ 2）設(shè) CAB? ， ? ?sAAAAB ??? , 21 ?? nniiiii bbbAr ???? ????? ?2211 AB 的第 i 個列向量是 A 的列向量組的線性組合，組合系數(shù)是 B 的第 i 個列向量的各分量 。 AB 的第 i 個行向量是 B 的行向量組的線性組合