【正文】 ??? ???????0127)16()(0322xyxygf則其系數(shù)矩陣 ???????7162x????? ?? 第 一 行 加 到 第 二 行??10032???? 21第 二 行 的????????6530312xx????? ?? ?倍第 一 行 的 63x???)2()(6 ???????? ?第 一 行倍 斜 加 到第 二 行 的 1???? 3)(x2)3(x0????? 倍第 一 行 的 3?????)()(9?????? ?? 倍 加 到 第 一 行第 二 行 的 x???)3(2)(310xx由結(jié)論， ， =0 的根 不是 =6??p)3(210??xC3,021?x)(0xC=0 的根．但是 是 的根，故帶回方程可得)2(3?x3x)(x有兩解．故最終得到原方程組有固定解，且有四組．??????02)(ygf例 8 判斷 的解．????13)(723xyx解：由于 是對(duì)稱的，故以任意一個(gè)未知量為主元都是一樣的，不妨以 為主元，y, x則 ????????013)(723yxgf則其系數(shù)矩陣 ???????130172y??????? ?? 倍 斜 加 到 第 一 行第 二 行 的?62?????? ?倍第 二 行 的 26y???????)(13(067222 yyy ???????? ?倍 斜 加 到 第 二 行第 一 行 的 1?? ))(6723 ????? ?? ?倍第 二 行 的 26y?????? ??22332 )6(1()6(7( 7yyy ???????? ?? ?倍 加 到 第 二 行第 一 行 的 y73?22332 )(()7(0由結(jié)論， ， =26)yp?? 23 )6(137yyyC????2 =0 的 6 個(gè)根均不是 的根．故原方程組有固)4(?y921( 0)0?C定解，且有 6 組．例 9 判斷 （ ）的解．???????ayxay)1(2?解：若以 為主元，則x???????0)()1(3223ayaxyxgf則其系數(shù)矩陣 ????????ay3201???? ?? 倍第 一 行 的?ay323 ??????? 第 二 行 斜 加 到 第 一 行?????????ay320???? a1第 一 行 的?y321??????? ?? 倍 斜 加 到 第 二 行第 一 行 的 y???????a02????? ?倍第 一 行 的 ayyy)(2??????? 第 二 行 斜 加 到 第 一 行???????aya)(02由結(jié)論， ， 的根 不是yp?)(,)(21 0)()22??ayC1y的根，但它使得 成立，故將其代回原方程組得0)(0??yC01易知，有一個(gè)解．而根 是 的根，故代回原?????0)()12axgf ay?2 0)(0??ayC方程組得 ，易知，有兩個(gè)解．????0)()1(3223axf故原方程組有固定解，且有 3 組．若以 為主元，則有y?????????0)1()(233axyyxgaf則其系數(shù)矩陣 ???????a210???? ?? 倍第 二 行 的??xxx233??????? 第 一 行 斜 加 到 第 二 行???????aa230???? ?a1第 二 行 的???xx231?????? ?? 倍 加 到 第 一 行第 二 行 的 x??????a20????? 倍第 二 行 的 a??xa2??????? 第 一 行 斜 加 到 第 二 行??????x22 ???? ?? ?倍第 二 行 的 a?)1()1(2xa????????? ?倍 加 到 第 二 行第 一 行 的 )1(x???????))(022由結(jié)論 ， =0 的 4 個(gè)根中有1,)(21???xpx ))(1(222 axxC???兩個(gè)根 均使得 成立，故將它們逐一代回原方程組得,2?x0)(顯然無(wú)解，而 有一解．??????0)(3aygf ??????0)(32ygaf故原方程組共有三組解． 二元高次方程組解的求法 固定個(gè)數(shù)解的求法由于原方程組 與 具有同解性．若 ，且????0),(yxBA????)(0,1yxr?0)(?yp或 ( 為 的最小下標(biāo))故可直接求出 的解組，0)(?yC0djj0?di ????)(,1xr?即知道原方程組的解組．若 ，則需將 代回原方程組求出 ．0?yp0y例 10 求（例 9） 的解．)()1(2???????axa 解：顯然，將 代回原方程組求得一組解 ，將 的另外兩,021?x ????01yx0)(2?xC個(gè)根 代入 可得 ．故原方程組的 3 組解分44,3ax???)1(),(1?xayr a別為 ．???????????ayayx24,2,01 無(wú)窮多個(gè)解的求法 由于原方程組 有解的條件是 =0，故用 的函數(shù) 來(lái)表示????0),(yxBA),(1yxryx,),(1yxr原方程組的解．例 11 求（例 6） 的解．?? ??????03423022 xyxyxy解：已經(jīng)求出 ，但是 是在變換過程)53()5(1),(?r 5)(yp中引入的多項(xiàng)式，故原方程組的公因式為 ．21,r故按照上面的求解方法，令 ，可求得原方程組的解的表達(dá)式，即可表為0),(1?yx（ 為任意復(fù)常數(shù)）???????24kyx但是，再變換過程中引入了多項(xiàng)式 ，故需將 = =0 的 = 代回原)(yp)(yp53?y3?方程組求得 ．由于它不包含在上面通解表達(dá)式里，故原方程組的解為32?x ， （ 為任意復(fù)常數(shù)）??????35y??24kyx結(jié)束語(yǔ)全文是通過矩陣廣義消法變換，像尋求一元高次方程組的最大公因式那樣，尋找二元高次方程組的最大公因式，從而判定二元高次方程組的解的個(gè)數(shù)．這種“通過公因式討論解個(gè)數(shù)”的數(shù)學(xué)思想同樣可以推廣到多元高次方程組的解的判定，只不過運(yùn)算起來(lái)很麻煩．由于自己的水平有限，在寫論文的過程中遇到了很多困難，所以寫的論文難免有不足之處． 參考文獻(xiàn)[1] 劉再進(jìn)．二元高次方程組解的判定[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1983(11)：2932．[2] 張赟．結(jié)式與一類 n 元方程組的特征值、解的判定及其簡(jiǎn)單應(yīng)用[J]．西藏大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，8（2）：7074．[3] 徐德余．高等代數(shù)[M]．成都：四川大學(xué)出版社，2022．[4] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2022．[5] 許莆華，張賢科．高等代數(shù)解題方法[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2022．[6] 王國(guó)炳．結(jié)式的計(jì)算新方法與應(yīng)用[J]．宜賓師專學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ，1995（2）：712．[7] 沈艷平．結(jié)式的一種計(jì)算方法[J]．昆明大學(xué)學(xué)報(bào)，2022(1)：66～69．[8] 王丹華．利用矩陣初等變換求多項(xiàng)式的最大公因式[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2022，1（8）：1517．[9] 郁金祥．多項(xiàng)式最大公因式求解方法的推廣[J]．嘉興學(xué)院報(bào)，2022，5（13）：2729．[10]張奠宙，張廣祥．中學(xué)代數(shù)研究[M]．北京：高等教育出版社，2022．[11]戴光輝，謝本超，孫超．三鏡折疊腔設(shè)計(jì)中高次非線性方程組的求解[J]．天津理工大學(xué)出版社，2022，5（16）：2729．[12]張?jiān)^，沈祖和．非線性方程組解的一點(diǎn)討論[J]．南京大學(xué)學(xué)報(bào)，1980（3）：1317．[13]張明旺．兩多項(xiàng)式最大公因式簡(jiǎn)易求法[J]．安鋼師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2022（2）：8889．[14]李正彪，李祥．求多項(xiàng)式最大公因式的一種新方法[J]．曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，11（6）：4547．[15]郭文秀．一類非線性方程組的解法[J]．岳陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，12（4）：2325．致 謝本文是在張潤(rùn)石老師的熱情關(guān)心和指導(dǎo)下完成的，她淵博的知識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)作風(fēng)使我受益匪淺，對(duì)順利完成本課題起到了極大的作用．在此向她表示我最衷心的感謝！最后向在百忙之中評(píng)審本文的各位專家、老師表示衷心的