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2025-05-12 05:04本頁面
【正文】 . ),( 21 PP ),( 43 PP)(2))(( 43214321 ???????? ????i? iP 4..1?i? 一線段的中點為無窮遠(yuǎn)點關(guān)于這個線段的兩個端點的調(diào)和點。 ? 因為調(diào)和關(guān)系是由交比定義的，所以它是射影不變的。 ? 例如：利用這種不變的調(diào)和關(guān)系，我們可以求出無窮遠(yuǎn)點的像。無窮遠(yuǎn)點的像可以用來對照相機進(jìn)行標(biāo)定。 成像平面 攝像機坐標(biāo)系 Z X Y O P p 完全四點形中的調(diào)和 : P1 P2 P3 P4 P1, P2, P3, P4 是四個 頂點 ，六條白線是三對 對邊 ，三個紅點 A, B, C 是 對邊點 ，三條紅線和三個紅點組成 對邊三點形 。 A B C (CA, CB。 CG, CE)= 1 D E F G H (D, B。 P2, P1)= 1 (A, B。 G, E)= 1 (F, B。 P3, P4)= 1 (A, M。 P2, P4)= 1 (A, H。 P3, P1)= 1 M 二次曲線 記射影平面上點的齊次坐標(biāo)為 , 則滿足一個二次方程 , 即 : 的所有點的集合構(gòu)成一條由 決定的 二次曲線 , 其中至少有一個 非零 . )(031,jiijjijiij aaxxa ????),( 321 xxxijaija 在二次曲線的定義中的方程又可以寫為 : 矩陣 是對稱的 , 它的秩在一個非退化的射影變換下保持不變 . ? ? 0321333231232221131211321 ?????????????????????xxxaaaaaaaaaxxx)( ija 如果矩陣 的行列式非零 , 則這個二次曲線 非退化 . 否則二次曲線退化為兩條直線 , 或一條直線 . 例如 : 圓 , 橢圓 , 雙曲線和拋物線都是非退化的二次曲線 . )( ija二次曲線的對偶： ? 射影平面上點與直線是對偶的，將二次曲線的點元素?fù)Q為線元素，則這些線的包絡(luò)為一個二次曲線。 ? 二次曲線 （ 為點坐標(biāo)） 的對偶為： （ 為線坐標(biāo)） 其中 為 的伴隨矩陣。 0?CXX ?0* ?LCL?XL*C C互為對偶 點的軌跡 線的包絡(luò) 絕對二次曲線 歐氏空間中 , 無窮遠(yuǎn)平面上的二次曲線 : 稱為 絕對二次曲線 . 它都由虛點構(gòu)成 , 任何一個圓都與它交于一對虛共軛點 (圓環(huán)點 ). 0,0 0232221 ???? xxxx 絕對二次曲線的像與照相機的內(nèi)參數(shù)緊密相連 . 假定照相機的內(nèi)參數(shù)為 : 則絕對二次曲線的像是 : 反之 , 如果絕對二次曲線的像已知 , 則 K 可以被完全確定 . ???????????1000 00vfrusfK01 ??? XKKX ??? 如果圓環(huán)點的像已知，也可以對照相機的內(nèi)參數(shù)構(gòu)成約束，通過解方程組來得到內(nèi)參數(shù)的值。 假定 m 是圓環(huán)點的像，則： 01 ??? mKKm ??極點與極線 ? 對于一個二次曲線 C 和某個點 A (向量 )，由 L=C A 確定的直線（線坐標(biāo)），稱為點 A 關(guān)于二次曲線 C 的 極線 。 ? 當(dāng) A 在二次曲線 C 上時，點 A 的極線為過它的切線。 ? 對于一個二次曲線 C 和某條直線 L (向量 )，由 A = L 確定的點，稱為線 L 關(guān)于二次曲線 C 的 極點 。 ? 當(dāng) L 為二次曲線 C 的切線時，線 L 的極點為它上的切點。 *C? 對極關(guān)系是射影不變的關(guān)系 , 利用這個關(guān)系我們可以對照相機進(jìn)行標(biāo)定 . 三維射影幾何 ? 點、直線、平面 ? 二次曲面 ? 扭三次曲線：與三維重建中的退化情況緊密相連。 參考書目 ? J. G. Semple, G. T. Kneebone, Algebraic Projective Geometry, Oxford University Press, 1952. ? 梅向明 , 劉增賢 , 王匯淳 , 王智秋 , 高等幾何 , 高等教育出版社 , 1998. ? 周興和，高等幾何，科學(xué)出版社， 2022.
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