歷年國(guó)賽試題歸納及解法歸納——復(fù)習(xí)時(shí)間緊迫-要把握重點(diǎn)-資料下載頁(yè)
2025-05-12 01:03本頁(yè)面
【正文】 生是否將其當(dāng)作環(huán)線處理，一般不會(huì)影響到實(shí)例的計(jì)算結(jié)果。3對(duì)于L290標(biāo)明是環(huán)線，但首尾站點(diǎn)分別為1477與1479的問題，可將所有線路中1477與1479統(tǒng)一為1477后計(jì)算。同學(xué)也可以按照各自認(rèn)為合理的方式處理，包括不當(dāng)作環(huán)線，實(shí)例計(jì)算用到的是該線路中部的幾個(gè)站點(diǎn)，一般不會(huì)影響實(shí)例計(jì)算結(jié)果。問題2考慮地鐵線路時(shí)的公交線路選擇本問可有多種處理方法，關(guān)鍵看合理性與可操作性。換乘時(shí)間的處理較第一問要復(fù)雜，需重點(diǎn)關(guān)注。問題3已知站點(diǎn)間步行時(shí)間條件下的公交線路選擇這是比較一般的線路選擇問題，更接近實(shí)際。由于增加了步行因素，每個(gè)站點(diǎn)的可換乘方案大大增加了，于是用圖論方法處理的難度也會(huì)有很大增加。最常用的目標(biāo)有：換車次數(shù)最少，乘車的總站數(shù)最少，步行的總時(shí)間最少，總車費(fèi)最少等等，應(yīng)該針對(duì)不同的情況分別寫出模型。實(shí)例結(jié)果[注]（1）本計(jì)算結(jié)果由命題人提供，并不一定完全準(zhǔn)確（如最優(yōu)可能僅為次優(yōu)），僅供參考。此外，由于假設(shè)的不同（如對(duì)換乘時(shí)間的處理不同），結(jié)果也可能會(huì)有差異。（2）下表中每行第1目標(biāo)為最優(yōu)結(jié)果（帶 * 號(hào)者），其余兩個(gè)目標(biāo)在第1目標(biāo)最優(yōu)條件下為最優(yōu)或次優(yōu)結(jié)果。（表中“時(shí)間”包括起始站點(diǎn)處的3分鐘等車時(shí)間。）2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題評(píng)閱要點(diǎn) 高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)之一，是一個(gè)相當(dāng)開放的問題，許多媒體的討論都缺乏數(shù)據(jù)的支持和定量的分析。評(píng)閱中除了目中的明確要求外，要特別注意以下問題： 1. 應(yīng)多角度、全面、綜合地考慮學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)問題。模型中至少應(yīng)考慮教育質(zhì)量的保證和承受能力兩個(gè)方面；例如，培養(yǎng)成本、成本分擔(dān)、承受能力、長(zhǎng)遠(yuǎn)收益、國(guó)際比較、歷史比較等方面的考慮. 2. 數(shù)據(jù)的收集非常重要。應(yīng)該收集充分的、有根據(jù)、有說服力的數(shù)據(jù)，并能支持建模的結(jié)論。估計(jì)可能收集到的數(shù)據(jù)有：國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，教育經(jīng)費(fèi)的比例，國(guó)家生均撥款和其它教育投入，培養(yǎng)一個(gè)大學(xué)生平均每年所需費(fèi)用、學(xué)校每年的運(yùn)營(yíng)開支、每年報(bào)考大學(xué)的人數(shù)和錄取人數(shù)、學(xué)生分布結(jié)構(gòu)，家庭經(jīng)濟(jì)收入分布、困難學(xué)生的人數(shù)、每個(gè)學(xué)生每年的學(xué)費(fèi)、生活費(fèi)、獎(jiǎng)學(xué)金、助學(xué)金、貸款、捐贈(zèng)款等。 3. 應(yīng)該通過數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析和建模深入細(xì)致地討論學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)問題，要有明確的結(jié)論2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題評(píng)閱要點(diǎn) （1）靶標(biāo)上圓的像是橢圓，但圓心的像一般不是橢圓的形心。對(duì)給定的坐標(biāo)系，由相片可獲取靶標(biāo)圓的像的邊界坐標(biāo)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些邊界點(diǎn)的原像落在靶標(biāo)平面且落在對(duì)應(yīng)圓周上的性質(zhì)，利用光學(xué)成像原理可建立確定靶標(biāo)平面方程和靶標(biāo)圓的圓心坐標(biāo)的非線性方程組數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求得靶標(biāo)圓心像的坐標(biāo)。模型求解可直接求解非線性方程組，也可化為優(yōu)化問題求解。由于在某些情形模型可能有多解，化為優(yōu)化問題后，目標(biāo)函數(shù)有可能為多峰，在求解時(shí)應(yīng)加以注意。 （2）要以模型的合理性和優(yōu)劣作為主要評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，不要以數(shù)值結(jié)果好壞作為評(píng)價(jià)的唯一標(biāo)準(zhǔn)。 （3）模型檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。但以往重視不夠。對(duì)本問題，應(yīng)對(duì)于靶標(biāo)平面具有已知特殊傾角的情形，分別對(duì)有無誤差的情形逆向設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，即在靶標(biāo)平面方程和圓方程已知的情況下，根據(jù)光學(xué)成像原理，計(jì)算獲得圓周像的各點(diǎn)坐標(biāo)和圓心像的坐標(biāo)。利用圓周像的各點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)（并加上隨機(jī)誤差）用建立的模型和方法，計(jì)算出圓心的像坐標(biāo)，并與通過光學(xué)成像原理計(jì)算所得的圓心像坐標(biāo)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ团c方法的有效性與穩(wěn)定性。精度是一個(gè)復(fù)雜的問題，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想象力加以研究。 （4）對(duì)兩部相機(jī)各自取固定在其上的坐標(biāo)系，決定它們相對(duì)位置即確定這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。此變換可分解為一個(gè)平移和一個(gè)繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。于是要確定一個(gè)三維平移向量t和一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣R， R是一個(gè)正交陣，因此需要確定6個(gè)未知的參數(shù)。從靶標(biāo)上若干個(gè)圓的圓心的像坐標(biāo)可以得到它們分別在在兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)變換關(guān)系，可得一個(gè)方程組，足以確定6個(gè)未知參數(shù)，從而確定變換關(guān)系。[注] 關(guān)于最早公布的題中存在的個(gè)別錯(cuò)誤之處地說明：按照題中所給圖像，同學(xué)應(yīng)該能夠判斷出相機(jī)分辨率是1024*768，而不是1024*786；如果同學(xué)按最早公布的題中所說的像距就是焦點(diǎn)（正確的說法應(yīng)該是光心）到像平面的距離建模和計(jì)算，可能會(huì)影響到數(shù)值結(jié)果，但這些問題本質(zhì)上對(duì)模型和算法及其檢驗(yàn)、分析的影響不大。 關(guān)于優(yōu)化問題所使用的數(shù)學(xué)軟件（1）lingo或lindo求解多目標(biāo)規(guī)劃是要通過編程把多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的，至于怎么轉(zhuǎn)換，方法就很多了，其中加權(quán)法最常用但主觀性太大，分層序列法適合于各目標(biāo)間有明顯優(yōu)先級(jí)的情況；（2）至于01規(guī)劃，lingo或lindo都可以求解，；（3）matlab沒有自帶的直接求多目標(biāo)規(guī)劃的函數(shù)，但不排除一些學(xué)者自己編寫的工具箱函數(shù)。
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