montecarlo方法ppt課件-資料下載頁
2025-05-05 18:16本頁面
【正文】 ? Importancesampled rectangle rule ? Same formula for MC sampling 1()n iiiI f x x????1x? 2x? 3x? nx?… 1()i ibaxnx????Greater ? ? more points ? smaller spacing 1()()()niiixb a f xInx????? ?choose x points according to ? 在正則系綜中 ， 任意觀察量 A（ x）的熱平均為 重要性抽樣： 在隨機(jī)過程中 ， 選取一個(gè)隨機(jī)抽樣的分布 ， 使生成的隨機(jī)數(shù)滿足選取分布形式 。 根據(jù)一定的分布形式進(jìn)行的隨機(jī)抽樣稱為重要性抽樣 。 重要抽樣 Monte Carlo 方法的實(shí)質(zhì)是每次抽樣試驗(yàn)不是完全獨(dú) 立的 ， 而是與前一次或者與以前的所有抽樣結(jié)果具有一定的概率關(guān)系 ， 如不退隨機(jī)行走和自回避隨機(jī)行走 。 設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)序列 （ 隨機(jī)變量序列 ） 為 x０ ， x１ ， … ，xn ， … ， 如果對(duì)于任何一個(gè)狀態(tài) xn只與前一個(gè)狀態(tài) xn － １ 有關(guān) ， 而與初始狀態(tài)無關(guān) ， 即狀態(tài) n的概率為 則稱此序列為 Markov 鏈。 Markov 鏈?zhǔn)且环N隨機(jī)行走狀態(tài) ， 從狀態(tài) i單步行走到狀態(tài) j 的概 率叫做轉(zhuǎn)移概率 ， 或躍遷概率 ， 即 設(shè)所有可能的狀態(tài)數(shù)為 N ， 由 pij 構(gòu)成的 N N 矩陣叫做轉(zhuǎn)移矩陣 p ， 該矩陣的每一行元素的和等于１ 。 Markov 鏈的重要性質(zhì)是 ， 無論初始狀態(tài)如何 ， 最終狀態(tài)（足夠多的時(shí)間步長次數(shù)）會(huì)遵從某一個(gè)唯一的分布 ， 該分布叫做極限分布 xlim ， 即 也就是說 ， 極限狀態(tài)乘轉(zhuǎn)移概率后狀態(tài)不再發(fā)生變化 ， 即系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài)。 因此 ， Markov 鏈在平衡態(tài) Monte Carlo 模擬中具有重要的意義。 3 Metropolis Monte Carlo法 Monte Carlo 方法主要分為簡單隨機(jī)抽樣方法和重要隨機(jī)抽樣方法 。 簡單抽樣就是以平均分布進(jìn)行抽樣 ， 每次抽樣是完全獨(dú)立的 。 正如前面關(guān)于積分問題中所述 ， 很多問題難以用簡單抽樣方法解決 ， 而重要隨機(jī)抽樣能夠獲得很好結(jié)果 。 Metropolis Monte Carlo 方法是一種重要隨機(jī)抽樣方法。 Metropolis 等人提出了一種基于建立一個(gè) Markov 過程的方法 。 該方法的實(shí)質(zhì)是 ， 系統(tǒng)的各狀態(tài)不是彼此獨(dú)立無關(guān)地選取 ，而是建造一個(gè) Markov 過程 ， 過程中每一個(gè)狀態(tài) xi ＋ １ 是由前一個(gè)狀態(tài) xi 通過一個(gè)適當(dāng)?shù)能S遷概率 W （ xi → x i ＋ １ ）得到的 ， 并且 ， 該概率能夠使得在 M → ∞ 的極限下 ， Markov 過程產(chǎn)生的狀態(tài)的分布函數(shù) P（ xi ）趨于所要的平衡分布 ， 即 滿足上述要求的充分條件為 也就是說 ， 兩個(gè)狀態(tài)正向與反向的躍遷概率之比只依賴于兩者的 能量差 dH ＝ H （ xj ） － H（ xi ） 。 但是滿足該條件的躍遷概率 W 的形式并不是唯一的 。 通常采用以下兩種形式 ： ts 可取為 １ Metropolis Monte Carlo 方法的具體步驟如下 : Metropolis Monte Carlo （１） 建立體系狀態(tài)與能量的關(guān)系模型。 （２） 由初始狀態(tài)出發(fā) ， 通過簡單抽樣設(shè)立新狀態(tài)。 （３） 根據(jù)新舊狀態(tài)的哈密頓量 dH ， 判斷新狀態(tài)的舍選 ， 判斷舍選有以下３ 種情況 ： ① dH ＜ ０ ， 接受新狀態(tài) ， 并在該狀態(tài)基礎(chǔ)上 ， 進(jìn)一步進(jìn) 行步驟（２） ； ② dH ＞ ０ ， 不是直接否決 ， 而是進(jìn)一步判斷 ， 抽取一個(gè) 隨機(jī)數(shù) ξ 如果新狀態(tài)被拒絕 ， 則把原來的狀態(tài)作為新狀態(tài) ， 重復(fù)進(jìn)行步驟（２） ， 并記錄一次。 如果系統(tǒng)的粒子數(shù)為 M ， 每次新狀態(tài)的抽樣均隨機(jī)抽選一個(gè)粒子 ， 并不是每個(gè)粒子逐一地進(jìn)行 。 只要偽隨機(jī)數(shù)的質(zhì)量足夠高 ， 各粒子被抽樣的概率是均等的 。 當(dāng)抽樣次數(shù)達(dá)到系統(tǒng)粒子總數(shù) M 時(shí) 該過程叫做一個(gè) Monte Carlo step MCS Metropolis 方法在狀態(tài)抽樣時(shí)雖然采用的是簡單抽樣 ， 但是通過新舊狀態(tài)的能量判斷 ， 實(shí)現(xiàn)新狀態(tài)的舍選 ， 建立 Markov 過程 。 對(duì)于恒定組成的正則和微正則系綜 ， 系統(tǒng)的能量用哈密頓量表示 。 對(duì)于變化組成的巨正則系綜 ， 隨機(jī)選取一個(gè)粒子并通過改變粒子的種類得到一個(gè)新的組態(tài) ， 系統(tǒng)的能量用混合能及混合物化學(xué)位之和表示 。
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