【正文】 特征根方程 特征根 02 22 ??? nn ss ???特征根性質(zhì) ④ 零阻尼 δ＝ 0，方程有一對(duì)純虛根，輸出等幅振蕩。 ① 過(guò) 阻尼 δ1， 方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根， 輸出無(wú)振蕩 ② 臨界 阻尼 δ＝ 1， 方程有一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根，輸出無(wú)振蕩 ③ 欠 阻尼 0δ1，方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)數(shù)的共軛復(fù)根，輸出振蕩 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) tstsnnn ececsssLtc21 212221 1]12[)( ????????????)()( 1222221121 ssscsssc nn ?????? ；二階系統(tǒng)輸出的一般式為 式中 s s2為系統(tǒng)特征根，而 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)通用曲線 ξ≥1時(shí)，階躍響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)振蕩的單調(diào)上升曲線，以 ξ=1時(shí)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間最短。 ξ=0時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)變成等幅振蕩； 在欠阻尼情況中， ξ減小，響應(yīng)的初始階段較快，但響應(yīng)振蕩特性加劇，取ξ，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短，振蕩也不劇烈， ξ=標(biāo)最優(yōu)，稱為 最佳阻尼比 。 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 ② 臨界阻尼 (ξ=1)時(shí)的單位階躍響應(yīng) （ ） 響應(yīng)的 穩(wěn)態(tài)分量為 1 ， 暫態(tài)分量 隨著時(shí)間的推移 最終衰減到零， ess=0。 ① 過(guò)阻尼（ ξ1）時(shí)的單位階躍響應(yīng)（ ） 響應(yīng)的 穩(wěn)態(tài)分量為 1 ；暫態(tài)響應(yīng)分量由兩項(xiàng)負(fù)指數(shù)函數(shù)之和組成，且后面的指數(shù)項(xiàng)較前面的指數(shù)項(xiàng)衰減得快，隨著時(shí)間的推移， 暫態(tài)分量最終衰減到零， ess=0。 ns ???21，tntntss nnnnn etteeLtc????? ?? ????? ???????? )1(11][)( 1)(122自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 ③零阻尼 (ξ=0)時(shí)的單位階躍響應(yīng)（ ） c(t)=1cosωnt 響應(yīng)的 穩(wěn)態(tài)分量為 1 ； 暫態(tài)分量為余弦函數(shù) ，整個(gè)響應(yīng)曲線以 ωn為角頻率的等幅振蕩 。 js n???21，④ 欠阻尼 (0ξ1)時(shí)的單位階躍響應(yīng)（ ） 穩(wěn)態(tài)分量為 1 ， 暫態(tài)分量 為振幅隨時(shí)間按負(fù)指數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)，其振蕩角頻率為 ωd，由于 ，可見(jiàn) ξ的值越大，振幅衰減越快， 最終衰減到零 ， 響應(yīng)頻率越快 ess=0 。 dnn jjs ?????? ?????? 221 1，)s i n(1 11)( 2 ??? ?? ???? ? tetc dtn(β＝ arccosξ) 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 典型二階系統(tǒng)欠阻尼時(shí)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 上升時(shí)間 tr 峰值時(shí)間 tp 超調(diào)量 σ % 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為： 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù)，試計(jì)算放大器的增益 KA=200時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。若 KA增大到1500或減小到 ，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 解： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 stnp 2 ??? ??? %13% 21/ ?? ?? ???? e1. KA=200時(shí)，代入上式求得： ωn＝ ； ξ＝ ，代入二階欠阻尼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式，可得： 2. KA=1500時(shí)，求得： ωn＝ ； ξ＝ ，同理可求得動(dòng)態(tài)指標(biāo)： stnp 2 ??? ??? %% 21/ ?? ?? ???? e3. KA=，得： ωn=； ξ＝ 1，此時(shí)系統(tǒng)為過(guò)阻尼情況，峰值時(shí)間和超調(diào)量不存在，而調(diào)節(jié)時(shí)間為： =200時(shí) =1500時(shí) KA= 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 二階系統(tǒng)性能的改善 系統(tǒng)超調(diào)大的原因是在系統(tǒng)響應(yīng)接近穩(wěn)態(tài)值時(shí)，積累的速度過(guò)快而使超調(diào)過(guò)大，為了減小超調(diào)，抑制振蕩可以引入一個(gè)與速度有關(guān)的負(fù)反饋，適當(dāng)?shù)貕旱退俣?，從而提高平穩(wěn)性。兩種常用的改善系統(tǒng)性能的方法是引入輸出量的速度反饋控制或者采用誤差信號(hào)的比例 微分控制。 輸出量的速度反饋控制 誤差信號(hào)的比例 微分控制 n?① 速度反饋的開(kāi)環(huán)增益降低 會(huì)加大系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。 ② 速度反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率 。 ③ 可增大系統(tǒng)的阻尼比 。 ④ 速 度 反饋不形成閉環(huán)零點(diǎn) 。 ntt K ??? 21??)(2 tnn KK ?? ???① 適當(dāng)選擇開(kāi)環(huán)增益，以使系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差減小，單位階躍輸入時(shí)有滿意的動(dòng)態(tài)性能。 ② 比例－微分控制不影響系統(tǒng)的自然頻率 。 ③ 由于阻尼比 ，可通過(guò)適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)改變 阻尼的大小。 ④ 由于微分時(shí)對(duì)噪聲有放大作用 (高頻噪聲 )，所以輸入噪聲大時(shí)，不宜采用 。 n???2nK?ndd T ??? 21?? 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定的基本概念 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān) 。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，是擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身的恢復(fù)能力。 對(duì)線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入為零時(shí)，輸出為零的點(diǎn)為其唯一的平衡點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為零時(shí)， 在非零初始條件作用下，如果系統(tǒng)的輸出信號(hào)隨時(shí)間的推移而趨于零，即系統(tǒng)能夠自行回到平衡點(diǎn)，則稱該線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的 ?；蛘哒f(shuō)，如果線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)中的初始條件分量（零輸入響應(yīng)）趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定的充分必要條件 ? 任何一個(gè) 系統(tǒng)的輸出都可以表達(dá)為： 其中： M(S)稱為輸入端算子式； D(S)稱為輸出端算子式； M0(S)是與系統(tǒng)初態(tài)有關(guān)的多項(xiàng)式。 ? C(S)可以展開(kāi)為： 其中： Si為 D(S)之根， Srj為之根 R(S)之根 ， Ai0、 Bj、 Ci為待定系數(shù)。 ? 系統(tǒng)響應(yīng) C(t)為： ?? ?ti tc 0)(lim 綜合上述分析可得出 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為 ： 系統(tǒng)的所有特征根具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)所有特征根位于 [s]平面的左半面，即 Re[si]0 )()()()()()( 0sDsMsRsDsMsC ?? 第一、二項(xiàng) (穩(wěn)態(tài)分量 )為 零狀態(tài)響應(yīng) ；第三項(xiàng)為初始狀態(tài)作用下的 零輸入響應(yīng) 。根據(jù)穩(wěn)定的定義可知，線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由零輸入響應(yīng)所決定的。因此 要系統(tǒng)穩(wěn)定 ，只需 零輸入響應(yīng)漸近為零 。 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 勞斯 (Routh)穩(wěn)定判據(jù) ? 系統(tǒng)的特征方程 D(S)=a0Sn+ a1Sn1 +……+ an=0 ? 勞斯 (Routh)穩(wěn)定判據(jù) ① a0.......an0； ② 勞斯陣列 中 第一列元素全部為正 ； ③ 勞斯陣列第一列中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變次數(shù)代表正實(shí)根的數(shù)目。 Sn a0 a2 a4 a6 … … Sn1 a1 a3 a5 a7 … … Sn2 …… … … Sn3 …… …… … … Sn4 …… …… … … … …… …… …… …… … … S0 …… …… …… …… … … 11 3021 baaaaa ??31 0610 ba aaa ???215041 ba aaaa ??11 2131 cbbaab ??21 3151 cbbaab ??11 2121 dccbbc ??21 1310 dc bbc ???? 勞斯陣列的編制方法 特征方程的系數(shù) 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 02233 234 ????? ssss 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性 例如 某系統(tǒng)的特征方程為 試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 勞斯陣列如下 0 0 2 0 0 1 3 2 0 2 3 S4 S3 S2 S1 S0 23 0123 ????373 2133 ????743723237?????由于勞斯陣列第一列元素不全為正，因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號(hào)由 7/3變?yōu)? 4/7，再由 4/7變?yōu)?2，即改變次數(shù)為兩次。因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)還可以得出系統(tǒng)特征方程的特征根有兩個(gè)位于 s的右半平面。 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性影響 利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)個(gè)別參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，以及為使系統(tǒng)穩(wěn)定，這些參數(shù)應(yīng)取值的范圍。若討論的參數(shù)為開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)的臨界值稱為臨界放大倍數(shù)。 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 S3 S2 S1 S0 1 40 K 14 K 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳為 試求保證閉環(huán)系統(tǒng) 穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益 K的可調(diào)范圍。 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為 由此可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為 D(s)=s3+14s2+40s+K=0 根據(jù)穩(wěn)定條件： ， K＞ 0 得： 0＜ K＜ 560 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 穩(wěn)態(tài)誤差 定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值，用 ess表示，即 。它是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo)。 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差 G1(s) G2(s) H(s) c(t) n(t) r(t) b(t) e(t) 系統(tǒng) 誤差 定義為 e(t)=r(t)b(t) r(t)相當(dāng)于代表希望值的指令輸入，而 b(t)相當(dāng)于被控量 c(t)的測(cè)量值（且 b(t)與 r(t)同量綱）， H(s)為檢測(cè)元件 系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統(tǒng)的校正 非線性系統(tǒng)的分析 自動(dòng)控制原理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 如果系統(tǒng)的誤差的拉氏變換 E(s)在 [s]的右半面及除原點(diǎn)外的虛軸上沒(méi)有極點(diǎn)，則其穩(wěn)態(tài)誤差可用拉氏變換的終值定理進(jìn)行求解： 令系統(tǒng)對(duì)輸入指令的誤差傳遞函數(shù) Фer(s)和系統(tǒng)對(duì)干擾的誤差傳遞函數(shù) Фen(s)分別為 則可將誤差表示為： 自控系統(tǒng)的基本概念 自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 時(shí)域分析