數(shù)列綜合應(yīng)用ppt課件-資料下載頁(yè)
2025-05-04 00:21本頁(yè)面
【正文】 2 3?? ? ? ? ， 2 .7??? 綜上 1 .2? ? （ 3 ）當(dāng) ≥ 2n 時(shí)， 11( 1 ) ( 1 )22na nn? ? ?? 4( 1 ) ( 2 )nn? ?? 114 ( )12nn?? ?? ， 又 1 23a ? 也適合上式， 114( ) , ( )12 Nnan nn ?? ? ??? ． 2 1 1 1 1 1 14( )3 3 4 4 5 1 2nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1242 ( 1 )22 nn Snn ? ?? ? ? ? ??? 22n? ??? ， 即 24( 2)nn? ? ? 對(duì) ≥ 2n? 恒成立． 24 41 ,42( 2) 4 ≤nn nn?? ?? ( 當(dāng) 4 ,2nn n?? 即 時(shí)取等號(hào) ) , 1 .2??? 又當(dāng) 1n ? 時(shí) ， 2 2 1 1[ 4( ) 1 ]3 3 2 3?? ? ? ? ， 2 .7??? 綜上 1 .2? ? （ 3 ）當(dāng) ≥ 2n 時(shí)， 11( 1 ) ( 1 )22na nn? ???4( 1 ) ( 2 )nn? ??114 ( )12nn?? ?? ， 又 1 23a ? 也適合上式， 114( ) , ( )12 Nnannn ?? ? ??? ． 2 1 1 1 1 1 14( )3 3 4 4 5 1 2nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1242 ( 1 )22 nn Snn ? ?? ? ? ? ???22n? ??? ， 即 24( 2)nn? ? ? 對(duì) 1n? ≥ 恒成立． 24 41 ,42( 2) 4 ≤nn nn????( 當(dāng) 4 ,2nn n?? 即 時(shí)取等號(hào) ) , 1 .2??? 又當(dāng) 1n ? 時(shí) ， 2 2 1 1[ 4( ) 1 ]3 3 2 3?? ? ? ? ， 2 .7??? 綜上 1 .2? ? 1 1 1 1 1 1 1 14 ( )2 3 3 4 4 5 1 2nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ???242,22 nnn? ? ???12( 1 ) ,2nnS????? ? ? 22 .22nnn ? ?? ? ??（ 3 ）當(dāng) ≥ 2n 時(shí)， 11( 1 ) ( 1 )22na nn? ???4( 1 ) ( 2 )nn? ??114 ( )12nn?? ?? ， 又 1 23a ? 也適合上式， 114( ) , ( )12 Nnan nn ?? ? ??? ． 2 1 1 1 1 1 14( )3 3 4 4 5 1 2nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ??? 1242 ( 1 )22 nn Snn ? ?? ? ? ? ???22n? ??? ， 即 24( 2)nn? ? ?對(duì) ≥ 2n? 恒成立． 24 41 ,42( 2) 4 ≤nn nn?? ?? ( 當(dāng)4 ,2nnn?? 即 時(shí)取等號(hào) ) , 1 .2??? 又當(dāng) 1n ? 時(shí) ， 2 2 1 1[ 4( ) 1 ]3 3 2 3?? ? ? ? ， 2 .7??? 綜上 1 .2? ? 1 .2???【 例 1 】 已知數(shù)列? ?na的前 n 項(xiàng)和11( ) 22nnnSa?? ? ? ?， ( n 為正整數(shù) ) ． ( Ⅰ ) 令2 nnnba?，求證數(shù)列? ?nb是等差數(shù)列，并求數(shù)列? ?na的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）令1nnncan??，12nnT c c c? ? ? ? （ Ⅲ ） （選作） 比較nT與521nn ?的大小，并證明 ． 解：（ I ） 由 11( ) 22 nnnSa ?? ? ? ?， 令 n =1 ， 可得 11 12nS a a? ? ? ? ?， 即1 12a ?. ， . 當(dāng) n≥2時(shí)， 1112 ( ) ,2nnnaa??? ? ? 1 12 2 1 .nnnnaa ? ???即1 ???即解：（ I ） 由 11( ) 22 nnnSa ?? ? ? ?， 令 n =1 ， 可得 11 12nS a a? ? ? ? ?， 即1 12a ?. 112 1 ,ba??又所以數(shù)列 {bn}是首項(xiàng)和公差均為 1的等差數(shù)列 . 1 ( 1 ) 1 .nb n n? ? ? ? ? ?.2n nna??2111( ) 2 ,2 nnnSa???? ? ? ?1111( ) ,2nn n n n na S S a a???? ? ? ? ? ? ?2,nnnba? 1 ?? ? ?(II) 由（ I ）得 11 ( 1 ) ( )2 nnn nc a nn?? ? ?， 所以 231 1 1 12 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ?K， 2 3 4 11 1 1 1 12 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 2 nnTn ?? ? ? ? ? ? ? ? ?K， 由 ① ② 得 2 3 11 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 2nnnTn ?? ? ? ? ? ? ?K 11111 [ 1 ( ) ]1 3 3421 ( 1 ) ( )1 2 2 212332nnnn nnnnT???? ?? ? ? ? ? ???? ? ? 33.2n nnT ?? ? ?由① ② 得 133 .2 2 nn????2 3 11 1 1 1+ 3 ( ) + 4 ( ) ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 212 2nnnT n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??23 141 1 1 1 12 ( ) + 3 ( ) + 4 ( ) ( ) 12 2 2 2 2 ( 1 ) ( )2n nn nTn?? ? ? ? ? ? ? ? ??2 3 4 11 1 1 1 1[ ( ) ( ) +( ) ( ) ]2 2 2 211 ( 1 )22 )(n nn nT?? ? ? ? ? ? ??211 1 1( ) ( )2 2 211211 ( 1 ) ( )2nnn ?? ? ??????可猜想當(dāng) 3 2 2 ? ? ?時(shí) ， 證明如下： 5 3 5 ( 3 ) ( 2 2 1 )32 1 2 2 1 2 ( 2 1 )nn nnn n n n nTn n n? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?于是只需比較 2n 與 21n ? 的大小 ． 12 2 1 1 ,由 ? ? ? 22 2 2 1 ,? ? ? 32 2 3 1 ,? ? ? 42 2 4 1 ,? ? ?（ 1 ）當(dāng) n =3 時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立 ． （ 2 ）假設(shè) 1nk?? 時(shí)12 2 2 2 ( 2 1 ) 4 2 2 ( 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 1kk k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?g 所以當(dāng) 1nk?? 時(shí)猜想也成立 綜合 (1 ), (2 ) 可知 ，對(duì)一切 3n ? 的正整數(shù)，都有 2 2 n?? 綜上所述，當(dāng) 1 , 2n ? 時(shí) 521n nT n? ?，當(dāng) 3n ? 時(shí) 521n nT n? ?． 3,當(dāng) 時(shí)n ≥2 (1 1 )nn?? 0 1 2 1C C C C Cnnn n n n n?? ? ? ? ? ?0 1 1C C C Cnnn n n n?? ? ?≥2 2 2 ? ? ? ?【 02 】 已知數(shù)列? ?na的前 n 項(xiàng)和11( ) 22nnnSa?? ? ? ?， ( n 為正整數(shù) ) ． ( Ⅰ ) 令2 nnnba?，求證數(shù)列? ?nb是等差數(shù)列，并求數(shù)列? ?na的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）令1nnncan??，12nnT c c c? ? ? ?比較nT與521nn ?的大小，并證明 ．
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