【正文】 11 1 13s( s ) m a x ( 4 ) 4 [ ]3xsfx ?? ? ?? ?22 1 2 1 140m a x [ 5 ( 1 0 4 ) ] m a x 0 ( 0 ) ( 0 )x x f x f f??? ? ? ? ?信息系 羅捍東 53 相應(yīng)的最優(yōu)策略為 ， 于是得到 11s[]3x ?11( 10) 4 3 12 , * 3fx? ? ? ?11( 6) 4 2 8 , * 2fx? ? ? ?11( 5 ) 4 1 4 , * 1fx? ? ? ?11( 2) 4 0 0 , * 0fx? ? ? ?11( 1 ) 4 0 0 , * 0fx? ? ? ?11( 0) 4 0 0 , * 0fx? ? ? ?信息系 羅捍東 54 12 1 210 ( 10 ) 0 12( 10 ) m a x 5 ( 6) m a x 5 8 13 , * 110 010 ( 2)ff f xf? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????12210 ( 5 ) 04( 5 ) m a x m a x 5 , * 15 ( 1 ) 5 0ffxf? ??? ??? ? ? ?? ? ? ??? ????從而 ? ?2 1 2( 0 ) m a x 0 ( 0 ) 0 , * 0f f x? ? ? ?信息系 羅捍東 55 最后得到： 所以最優(yōu) 裝入方案為： 23 2 320 ( 10 ) 0 13( 10 ) m a x 6 ( 5) m a x 6 5 13 , * 012 012 ( 0)ff f xf? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????* * *1 2 32 , 1 , 0x x x? ? ?最大使用價(jià)值為 13。 信息系 羅捍東 56 某人在退休時(shí)可拿到總數(shù)為 x0的養(yǎng)老金，他估計(jì)自己還可活 T年，如何利用這筆錢，使得他在 T年內(nèi)消費(fèi)總效用最大？由于年齡大，不愿意冒險(xiǎn)，他打算把錢存入銀行 (年利率為 r ) ，試建立該問題的數(shù)學(xué)模型。 消費(fèi)模型 設(shè)第 t年的消費(fèi)為 ct，所獲得的效用為 U(ct)，xt為第 t年所擁有的資金，則可建立該問題的數(shù)學(xué)模型如下： 五、 宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用模型 信息系 羅捍東 57 ? ?011 0 1 2m a x { }( ) , , , ,tTtctt t tUcx c x r t T??? ? ? ??我們用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來討論它的求解 。 設(shè)狀態(tài)變量 xt表示在第 t年擁有的資金數(shù) 。 決策變量 ct表示在第 t年的消費(fèi) 。 則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為： 1 1 0 1 2( ) , , , ,t t tx x r c t T? ? ? ? ?第 t階段的階段指標(biāo)為： ( , ) ( )t t t tr x c U c?信息系 羅捍東 58 最優(yōu)值函數(shù) Vt(xt)表示 第 t年擁有的資金數(shù)為xt時(shí)按最優(yōu)方案消費(fèi)所獲得的最大總效用。 則由動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化原理，可得動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程為： ? ?? ? ? ?? ?? ?111( ) m a xm a x m a xm a x ( )jtjtTt t jcjtTtjccjtt t tcV x U cU c U cU c V x???????? ???????? ????????信息系 羅捍東 59 初 始條件 x0，邊界條件 xT+1=0， V(xT+1)=0，若給出效用函數(shù)的具體形式，則由動(dòng)態(tài)規(guī)劃逆序法可以求解。 信息系 羅捍東 60 最優(yōu)增長(zhǎng)模型 (無限階段的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型 ) 將上述模型進(jìn)行推廣，若假設(shè) T趨向于 ∞，再假設(shè)資本生產(chǎn)函 數(shù)為 f(xt)，則可得無限階段的消費(fèi)模型 (最優(yōu)增長(zhǎng)模型 )如下： 由于這個(gè)無窮級(jí)數(shù)可能發(fā)散，數(shù)學(xué)上不易處理。因此一般討論如下模型。 ? ?? ?01m axttctt t tUcx c f x????????????信息系 羅捍東 61 ? ?? ?01m axtttctt t tUcx c f x?????????????? 其中 β=1/(1+r)為貼現(xiàn)系數(shù)， x0為初始資本，是給定的。 一般假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)與效用函數(shù)都是嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格凹的函數(shù)，即滿足以下條件： ( ) 0 , ( ) 0( ) 0 , ( ) 0f x f xU c U c? ????? ????信息系 羅捍東 62 ( 0 ) 0 , ( 0 ) , ( ) 0( 0 ) , ( ) 0f f fUU??? ? ? ? ??? ? ? ? ? 為避免端點(diǎn)解，進(jìn)一步假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)與效用函數(shù)滿足以下條件： 設(shè)最優(yōu)值函數(shù) Vt(xt)表示 第 t年擁有的資金數(shù)為xt時(shí)按最優(yōu)方案消費(fèi)所獲得的最大總效用。即 ? ?( ) m a xjjtt t jcjtV x U c???????? ?????信息系 羅捍東 63 由于現(xiàn)在沒有最后的結(jié)束階段，前面所介紹的逆序法不適用。但是有些類型的的無限階段動(dòng)態(tài)規(guī)劃是可以求解的，而且許多情形下比有限階段求解更容易。對(duì)上面模型，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推原理，可導(dǎo)出該問題的貝爾曼方程： ? ? ? ?11m a xjjttjcjtU c U c?????????? ? ? ??????? ?( ) m a xjjtt t jcjtV x U c???????? ?????信息系 羅捍東 64 ? ? ? ?11m a x m a xtjjttjccjtU c U c?????????? ? ? ??????? ?? ?11m a x ( )tt t tc U c V x? ??? ? ? 在有限階段的情形下，不同時(shí)間開始的子問題是不同的，而且到達(dá)規(guī)劃結(jié)束時(shí)所需要的時(shí)間也不同。但若是無限階段，就不再是這樣了，此時(shí)所有子問題都是相同的。這樣對(duì)于無限水平下的穩(wěn)定性問題，時(shí)期 t時(shí)的值函數(shù) Vt(xt)只是初始狀態(tài) xt的函數(shù)，與時(shí)期 t無關(guān)，因此 貝爾曼方程變?yōu)椋? 信息系 羅捍東 65 ? ?? ?? ?11( ) m a x ( )( 1 )1 , 2 ,tt t tct t tV x U c V xx c f x t? ??? ? ?? ? ? 這樣得到的策略函數(shù) xt+1=h(xt)也是時(shí)間不變的，這是一個(gè)非常 關(guān)鍵的簡(jiǎn)化 ，因?yàn)檫@樣我們只需找到一個(gè)這樣的函數(shù)，而不是 Tt個(gè) 這樣的函數(shù)。 貝爾曼從數(shù)學(xué)上證明了上述問題有唯一的連續(xù)函數(shù)解 V(xt)和 h(xt)。而且可以證明值函數(shù) V(xt)是 嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格凹的函數(shù)；策略函數(shù) h(xt)是嚴(yán)格遞增函數(shù)。 信息系 羅捍東 66 將貝爾曼方程 (1)化為： ? ?? ?? ?? ?1111( ) m a x ( )( 2). 0 1 , 2 ,tt t t txttV x U f x x V xs t x f x t?????? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?111()()t t tt t t tV x U f x xV x U f x x f x? ?????? ? ?? ? ?? ? ? 關(guān)于值函數(shù) V(xt)有如下導(dǎo)數(shù)公式： 信息系 羅捍東 67 為解釋歐拉方程，考慮通過減少 t期單位消費(fèi)，實(shí)現(xiàn) t+1期消費(fèi)增加的問題。一方面， t期的效用損失為 ；另一方面， t期增加單位投資導(dǎo)致下期增加消費(fèi)量 ，相應(yīng)效用增加 由此可得歐拉方程： ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 1t t t t tU f x x U f x x f x?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 利用消費(fèi)變量將上式改寫為： ? ? ? ? ? ?11 3()t t tU c U c f x? ??? ? ?? ? ?? ?tUc?? ?1tfx?? ? ? ? ?11ttU c f x?????信息系 羅捍東 68 最優(yōu)路徑要求當(dāng)期的損失必須等于未來的收益 ,否則應(yīng)該重新設(shè)計(jì)可行的消費(fèi) /投資計(jì)劃能提高目標(biāo)函數(shù)值。 現(xiàn)具體假設(shè)效用函數(shù)是對(duì)數(shù)形式，資本生產(chǎn)函數(shù)是柯布 — 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，則最優(yōu)增長(zhǎng)模型變?yōu)槿缦滦问剑? 這是此類模型中惟一可以手解的一個(gè)模型。有三種求解方法： 1）值函數(shù)迭代法 2）猜測(cè)和驗(yàn)證法 3）策略函數(shù)迭代法 01m ax lntttctt t tcx c A x???????????????信息系 羅捍東 69 ? ?? ? ? ?11111l n l n l n()t t tttx h x A xA A xVx???? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????? ? ? ??????????? 上述問題策略函數(shù)和值函數(shù)的解分別為： 信息系 羅捍東 70 作業(yè)： P118 ,