【正文】 單因素方差分析的基本原理可簡(jiǎn)述如下： 單方差分析的基本原理 ： 把試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總差異分解成條件誤差與隨機(jī)誤差，然后比較“大小”，看哪一個(gè)在總差異中占主要地位。 這一基本原理也稱之為離差分解法，即 Q總 =Q條件 +Q隨機(jī) 二、單因素方差分析的步驟 單因素方差分析分一般分如下 4個(gè)步驟： １．提出假設(shè) H0：某因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)無(wú)顯著影響。 ２．列方差計(jì)算表，計(jì)算隨機(jī)誤差、條件誤差及它們的自由度。 ３．列方差分析表，比較條件誤差與隨機(jī)誤差的大小。 ４．作出結(jié)論。 當(dāng)Ｆ ≥ 臨界值Ｆ α （ γ １ ， γ ２ ）或相伴概率 P ≤a 時(shí)，拒接假設(shè)Ｈ ０ ； 當(dāng)Ｆ＜臨界值Ｆ α （ γ １ ， γ ２ ）或相伴概率P﹥a 時(shí)，接受假設(shè)Ｈ ０ 。 水平 據(jù) 編 號(hào) A1 A2 ．．． Am 后四行求和 1 2 3 ┇ ┇ X1 Y1 ．．． Z1 X2 Y2 … Z 2 X3 Y3 … Z 3 ┇ ┇ ┇ Xn1 Yn2 … Z nm 各水平內(nèi)數(shù)據(jù)之和 各水平內(nèi)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) 和平方的平均 各水平內(nèi)數(shù)據(jù)的平方和 T１ T２ … T m n１ n２ … n m S1=t1/n1,……… Ｒ １ Ｒ ２ … Ｒ m T=T１ +T２ + … + T m Ｎ＝ n１ ＋ n２ ＋ … ＋ nm Ｓ＝ S１ +S2＋ … ＋ Sm Ｒ＝ R１ +Ｒ ２ +…+ Ｒ m 方差計(jì)算表 總差異 Q總 、條件誤差 Q條件 、隨機(jī)誤差Q隨機(jī) 可由方差計(jì)算表中右下方框中的Ｔ、Ｎ、Ｓ、Ｒ按以下公式計(jì)算： Q條件 ＝Ｓ－Ｔ ２ ／Ｎ Q隨機(jī) ＝Ｒ－Ｓ Q總 ＝ Q條件 ＋ Q隨機(jī) 隨機(jī)誤差、條件誤差的自由度計(jì)算公式為： 條件誤差的自由度 γ 條件 ＝ｍ－１ 隨機(jī)誤差的自由度 γ 隨機(jī) ＝Ｎ－ｍ （其中ｍ為水平數(shù)） 差異來(lái)源 離差平方和 自由度 均 方 Ｆ 值 臨界值 或相伴概率 條件 誤差 隨機(jī) 誤差 總差異 Q1 Q2 Q γ１ γ２ S1=Q1／ γ1 S2=Q2／ γ2 F=S1／ S2 Fα（ γ1， γ2） 或 P 三、 單因素方差分析舉例 例 為檢驗(yàn)不同的訓(xùn)練方法對(duì)磷肌酸增加有無(wú)影響，設(shè)計(jì)了四種不同的訓(xùn)練方法Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４，并選取同樣條件的２４名運(yùn)動(dòng)員，將他們分成四組，通過(guò)三個(gè)月的訓(xùn)練后，觀察他們磷肌酸增長(zhǎng)情況，數(shù)據(jù)如下表所示： 訓(xùn)練方法 Ａ１ Ａ２ Ａ３ Ａ４ 平均值 試通過(guò)以上數(shù)據(jù)推斷：不同的訓(xùn)練方法對(duì)磷肌酸的增長(zhǎng)有無(wú)影響？ 【 解 】 H0： 不同訓(xùn)練方法對(duì)磷肌酸的增長(zhǎng)無(wú)顯著性差異。 Ａ１ Ａ２ Ａ３ Ａ４ 后 4行求和 各列求和 各列數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) 各列和平方的平均 各列數(shù)的平方和 6 6 6 6 T= N=24 S= 由上計(jì)算表可得： 條件誤差的離差平方和Ｑ 自由度 γ 1分別為： Ｑ 1＝Ｓ－Ｔ ２ ／Ｎ＝ － γ 1＝ｍ－１＝４－１＝３ 隨機(jī)誤差的離差平方和Ｑ 自由度 γ 2分別為： Ｑ 2＝Ｒ－Ｓ＝ － ＝ γ 2＝Ｎ－ｍ＝ 24－４＝ 20 ３．列方差分析表。 差異來(lái)源 離差平方和 自由度 均方 Ｆ值 臨界值 或相伴概率 試驗(yàn)方法 隨機(jī)誤差 總差異 ３ ２０ Ｆ （ 3， 20） = 相伴概率 P= ４．結(jié)論 ： ∵ Ｆ＝４．０３＞３．１０ ∴ 拒接原假設(shè)，即認(rèn)為不同的訓(xùn)練方法對(duì)磷肌酸的增長(zhǎng)有顯著性影響。 什么是方差分析 ? 1. 檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等 ——通過(guò)對(duì)各觀察數(shù)據(jù)誤差來(lái)源的分析來(lái)判斷多個(gè)總體均值是否相等 2. 變量 – 一個(gè)定類尺度的自變量 2個(gè)或多個(gè) (k 個(gè) ) 處理水平或分類 – 一個(gè)定距或比例尺度的因變量 3. 用于分析完全隨機(jī)化試驗(yàn)設(shè)計(jì) 什么是方差分析 ? 表 81 該飲料在五家超市的銷售情況 超市 無(wú)色 粉色 橘黃色 綠色 1 2 3 4 5 【 例 】 某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明。這四種飲料的營(yíng)養(yǎng)含量、味道、價(jià)格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同。現(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營(yíng)規(guī)模相仿的五家超級(jí)市場(chǎng)上收集了前一時(shí)期該飲料的銷售情況，見表 81。試分析飲料的顏色是否對(duì)銷售量產(chǎn)生影響。 什么是方差分析 ? 1. 檢驗(yàn)飲料的顏色對(duì)銷售量是否有影響 ， 也就是檢驗(yàn)四種顏色飲料的平均銷售量是否相同 2. 設(shè) ?1為無(wú)色飲料的平均銷售量 ， ?2粉色飲料的平均銷售量 ， ?3為橘黃色飲料的平均銷售量 ，?4為綠色飲料的平均銷售量 ， 也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè) ? H0: ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? H1: ?? , ?? , ?? , ?? 不全相等 3. 檢驗(yàn)上述假設(shè)所采用的方法就是方差分析 方差分析的基本思想和原理 （幾個(gè)基本概念） 1. 因素或因子 ? 所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱為因子 ? 要分析飲料的顏色對(duì)銷售量是否有影響 ， 顏色 是要檢驗(yàn)的因素或因子 2. 水平 ? 因素的具體表現(xiàn)稱為水平 ? A A A A4四種顏色就是因素的水平 3. 觀察值 ? 在每個(gè)因素水平下得到的樣本值 ? 每種顏色飲料的銷售量就是觀察值 方差分析的基本思想和原理 （幾個(gè)基本概念） 1. 試驗(yàn) ? 這里只涉及一個(gè)因素 ， 因此稱為單因素四水平的試驗(yàn) 2. 總體 ? 因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體 ? 比如 A A A A4四種顏色可以看作是四個(gè)總體 3. 樣本數(shù)據(jù) ? 上面的數(shù)據(jù)可以看作是從這四個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù) ? 1. 比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等 ? 2. 比較的基礎(chǔ)是方差比 ? 3. 如果系統(tǒng) (處理 )誤差顯著地不同于隨機(jī)誤差，則均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 ? 4. 誤差是由各部分的誤差占總誤差的比例來(lái)測(cè)度的 方差分析的基本思想和原理 方差分析的基本思想和原理 （兩類誤差） 1. 隨機(jī)誤差 ? 在因素的同一水平 (同一個(gè)總體 )下 ， 樣本的各觀察值之間的差異 ? 比如 ， 同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量是不同的 ? 不同超市銷售量的差異可以看成是隨機(jī)因素的影響 ， 或者說(shuō)是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的 ， 稱為 隨機(jī)誤差 2. 系統(tǒng)誤差 ? 在因素的不同水平 (不同總體 )下 ， 各觀察值之間的差異 ? 比如 ， 同一家超市 ， 不同顏色飲料的銷售量也是不同的 ? 這種差異 可能 是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的 ， 也可能 是由于顏色本身所造成的 ， 后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的 ， 稱為 系統(tǒng)誤差 方差分析的基本思想和原理 （兩類方差） 1. 組內(nèi)方差 ? 因素的同一水平 (同一個(gè)總體 )下樣本數(shù)據(jù)的方差 ? 比如 ， 無(wú)色飲料 A1在 5家超市銷售數(shù)量的方差 ? 組內(nèi)方差只包含 隨機(jī)誤差 2. 組間方差 ? 因素的不同水平 (不同總體 )下各樣本之間的方差 ? 比如 ， A A A A4四種顏色飲料銷售量之間的方差 ? 組間方差既包括 隨機(jī)誤差 ， 也包括 系統(tǒng)誤差 方差分析的基本思想和原理 （方差的比較） 1. 如果不同顏色 (水平 )對(duì)銷售量 (結(jié)果 )沒有影響 ， 那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差 ， 而沒有系統(tǒng)誤差 。 這時(shí) ， 組間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近 ，兩個(gè)方差的比值就會(huì)接近 1 2. 如果不同的水平對(duì)結(jié)果有影響 ， 在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外 ， 還會(huì)包含有系統(tǒng)誤差 ， 這時(shí)組間方差就會(huì)大于組內(nèi)方差 ， 組間方差與組內(nèi)方差的比值就會(huì)大于 1 3. 當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí) ， 就可以說(shuō)不同水平之間存在著顯著差異 方差分析中的基本假定 1. 每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布 ? 對(duì)于因素的每一個(gè)水平 ， 其觀察值是來(lái)自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ? 比如 ， 每種顏色飲料的銷售量必需服從正態(tài)分布 2. 各個(gè)總體的方差必須相同 ? 對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù) ， 是從具有相同方差的總體中抽取的 ? 比如 ， 四種顏色飲料的銷售量的方差都相同 3. 觀察值是獨(dú)立的 ? 比如 ， 每個(gè)超市的銷售量都與其他超市的銷售量獨(dú)立 方差分析中的基本假定 1. 在上述假定條件下 ， 判斷顏色對(duì)銷售量是否有顯著影響 ， 實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的四個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等的問(wèn)題 2. 如果四個(gè)總體的均值相等 ， 可以期望四個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近 ? 四個(gè)樣本的均值越接近 ， 我們推斷四個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分 ? 樣本均值越不同 ， 我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分 方差分析中基本假定 ? ? 如果原假設(shè)成立，即 H0: ?1 = ?2 = ?3 = ?4 – 四種顏色飲料銷售的均值都相等 – 沒有系統(tǒng)誤差 ? 這意味著 每個(gè)樣本都來(lái)自均值為 ?、差為?2的同一正態(tài)總體 X f(X) ?? ? ?? ? ?? ? ?? 方差分析中基本假定 ? ?如果備擇假設(shè)成立，即 H1: ?i (i=1， 2， 3， 4)不全相等 – 至少有一個(gè)總體的均值是不同的 – 有系統(tǒng)誤差 ? 這意味著四個(gè)樣本分別來(lái)自均值不同的四個(gè)正態(tài)總體 X f(X) ?? ? ?? ? ?? ? ?? 單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 觀察值 ( j ) 因素 (A) i 水平 A1 水平 A2 … 水平 Ak 1 2 : : n x11 x12 … x1k x21 x22 … x2k : : : : : : : : xn1 xn2 … xnk 單因素方差分析的步驟 – 提出假設(shè) – 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 – 統(tǒng)計(jì)決策 提出假設(shè) 1. 一般提法 ? H0: ?1 = ?2 =? = ?k (因素有 k個(gè)水平 ） ? H1: ?1 ， ?2 ， ? ， ?k不全相等 2. 對(duì)前面的例子 ? H0: ?1 = ?2 = ?3 = ?4 ? 顏色對(duì)銷售量沒有影響 ? H0: ?1 ， ?2 ， ?3， ?4不全相等