【正文】 而在 (x*, ?) 處下述等式組成立： 這就是說，效用最大化問題可用上述方程組來求解。鑒于此，我們 把這個方程組就稱為 邊際等式 或 邊際方程 (marginal equation)，其中的實數(shù) ? 叫做 拉格朗日乘數(shù) 。假設 HU保證了 ?u(x*) ? 0，因此 ? ? 0 (如果 u 是單調的，則還有 ? 0 )。 邊際替代率： 在消費方案 x 處，商品 i 對商品 j 的邊際替代率是指當商品 i 的消費量增加一個單位時， 在保持效用水平不變的情況下商品 j 的消費量可以減少的數(shù)量。即 MRSi, j = ?(d xj/d xi) = ui?/uj?。 市場替代率： 商品 i 對商品 j 的市場替代率是指市場上一個單位的商品 i 所能換得的商品 j 的數(shù)量 , 即商品 i 與商品 j 的價格比 pi /pj。 一、 實現(xiàn)均衡的必要條件 ?????????????rxpxpxppxipxuu iii**22*11*),2,1(*)(??????必要條件的意義 邊際效用均等法則： 均衡時，把一單位貨幣收入不論用于購買哪一種商品以增加消費量，其所增加的效用都是一樣的； 拉格朗日乘數(shù) ? 就是均衡時 貨幣收入的邊際效用。 ?????????????????rxpxpxppxpxupxupxu**22*112211**)(*)(*)(?????? ? 商品之間替代法則： 均衡時，任何兩種商品之間的邊際替代率都與市場替代率相等，因而商品的消費都達到了物盡其值的狀態(tài)。 ??????????????rxpxpxppxjippxuxujiji**22*11*),2,1,(*)(*)(?????二、 實現(xiàn)均衡的充分條件 定理 設消費集合 X 滿足假設 HC, 效用函數(shù) u(x) 連續(xù) 、 擬凹 、 無最大值 , 并且滿足假設 HU, x*?X ?, ( p, r)???。如果存在實數(shù) ? 0 使得 ?u(x*) = ? p且 px* = r， 則 x*?D( p, r), 即 x* 是消費者在價格體系 p 和收入 r 下的均衡。 證明： 任意給定 x?E(x*)，即 u(x) ? u(x*)， u的連續(xù)性和擬凹性保證了對一切實數(shù) t?(0,1) 都有 u( t x+(1 t) x*) ? u(x*) 。于是， 事實上 , 邊際等式實際上也是實現(xiàn)消費者均衡的充分條件。下述定理保證了這一點。 這說明 (?x?E(x*))( p x ? p x*)，從而 x*?H( p, x*)。 注意 , e( p, x*) = p x* = r I( p)。 因此， ( p, x*)??。應用對偶定理即知， x*?D( p, r)。 0*)()*) ((*)(*) )(*(lim*)(*))1((lim1*00????????????????? ??pxpxxxxutxuxxtxutxuxttxuiiiitt??充分條件的意義 邊際效用均等法則： 如果 在 x*處 ，把一單位貨幣收入不論用于購買哪一種商品以增加消費量，其所增加的效用都是一樣的，即 那么 x* 就是消費者在價格 p 和收入 r 下的均衡 。 ???pxupxupxu *)(*)(*)(2211 ?????? 商品之間替代法則： 如果 在 x*處 ， 任何兩種商品之間的邊際替代率都等于它們相應的價格比 ，即 那么 x* 就是消費者在價格 p 和收入 r 下的均衡 。 ),2,1,(*)( *)( ?????? jippxu xujiji 設 x*?X ?， ?u(x*) 0， r = p x*， ( p, r)???，并假定理性消費者具有滿足假設 HU的效用函數(shù) u(x)。 設 x*=?( p*, r*), ( p*, r*)???, ?*是確定 x*的邊際方程中的拉格朗日乘數(shù) , 即 ?u(x*) = ?* p* 且 p* x* = r*。假設 HC、 HP和 HU成立。間接效用函數(shù) 可看作是由函數(shù) L(x, p, r) = u(x) + ?*(r p x) 和需求映射 ?( p, r) 復合而成的： ( p, r) = u(?( p, r)) = L(?( p, r), p, r)。 因此，我們有： 三、 Lagrange乘數(shù)的意義 *)*)((*),(),(),(),(?111?????????????????????????????????rpxurxrpxLrrpxLrxxrpxLrrpuiiiiii iii i???注意， ?u(x*) = ?* p*，從而 ? ( p*, r*)? ? r = ?*。由于 ( p*, r*)??? 任意給定，因此可把此公式直接寫成下述定理的形式： 定理 在假設 HC、 HP 和 HU下，對任何 ( p, r)???，如果 (x,?) 是 邊際方程的解 ， 即 ?u(x)= ? p且 p x = r，那么 ? ( p, r)? ? r = ? 。 這說明， 拉格朗日乘數(shù)是貨幣收入的邊際效用 ， 因而被稱為是 貨幣的價格 。但這種價格屬于主觀感受 ， 并不實際表現(xiàn)出來，而好像貨幣的影子，因而稱為 影子價格 。這就是拉格朗日乘數(shù)的意義。 四、內部均衡與邊界最差 在消費集合內部，消費者可以沿著任何方向對消費方案進行修正。但是，若要修正消費集合邊界上的方案，就必須考慮修正方向是否允許。比如，消費者目前的選擇是為了生存所必需的最小消費向量，那么朝著減少消費量的方向的修正就是不允許的。既然修正邊界方案受到一定限制，消費者一般就會認為內部方案比邊界方案好。這就是邊界最差假設所表述的現(xiàn)象。 邊界最差假設 消費集合內部的方案比邊界上的方案好，即 (?x?X ?)(?y?? X )( x ? y ) 這個假設是生活水平較高的體現(xiàn)。 那種有食無衣、有衣無食的生活正是最差的邊界生活。在邊界最差假設下，均衡必然在消費集合內部實現(xiàn)：有衣有食，這就是內部均衡定理所表述的事實。 內部均衡定理 設 X ?R 是下有界閉凸集且內部非空。 ? 是無滿足的連續(xù)凸偏好 , 并滿足邊界最差假設 , 則對于任何 ( p, r)???, 都有 D( p, r)? X ?。進而如果 ? 還是內部嚴格凸的，則消費者均衡唯一確定 , 從而需求映射 ? : ??? X 得以確定 , 且 (?( p, r)???)(?( p, r)?X ?)。 內部均衡定理表明，邊界最差假設正是保證消費者均衡在消費集合內部實現(xiàn)的條件。 ?