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時期圖的基本概念ppt課件-資料下載頁

2025-04-30 18:21本頁面
  

【正文】 明 強(qiáng)連通圖一定是單向連通圖,單向連通圖一定是弱連通圖。 強(qiáng)連通圖 單向連通圖 弱連通圖強(qiáng)連通圖與單向連通圖的判定定理定理 設(shè)有向圖 D= V,E, V= {v1,v2,…, vn}。 D是強(qiáng)連通圖當(dāng)且僅當(dāng) D中存在經(jīng)過每個頂點至少一次的回路。 證明 充分性 顯然。下面證明 必要性 。由 D的強(qiáng)連通性可知, vi→ vi+1, i= 1,2,…, n1。設(shè) Г i為 vi到 vi+1的通路。又因為 vn→ v1, 設(shè) Г n為 vn到 v1的通路,則 Г 1,Г 2,…,Г n1,Г n所圍成的回路經(jīng)過 D中每個頂點至少一次。定理 設(shè) D是 n階有向圖, D是單向連通圖當(dāng)且僅當(dāng) D中存在經(jīng)過每個頂點至少一次的通路。 證明 略。問題 設(shè)有向圖 D是單向連通圖,但不是強(qiáng)連通圖,問在 D中至少加幾條邊所得圖 D ?就能成為強(qiáng)連通圖?擴(kuò)大路徑法 q 設(shè) G= V,E為 n階無向圖, E≠ ?, 設(shè) Г l為 G中一條路徑,若此路徑的始點或終點與通路外的頂點相鄰,就將它們擴(kuò)到通路中來 。繼續(xù)這一過程,直到最后得到的通路的兩個端點不與通路外的頂點相鄰為止。設(shè)最后得到的路徑為 Гl+k(長度為 l的路徑擴(kuò)大成了長度為 l+k的路徑 ),稱 Гl+k為 “ 極大路徑 ” ,稱使用此種方法證明問題的方法為 “ 擴(kuò)大路徑法 ” 。q 有向圖中可以類似地討論,只須注意,在每步擴(kuò)大中保持有向邊方向的一致性。關(guān)于極大路徑的說明q 由某條路經(jīng)擴(kuò)大出的極大路徑不唯一。q 極大路徑不一定是圖中最長的路徑。例 例 設(shè) G為 n( n≥ 4) 階無向簡單圖, δ (G)≥ 3。證明 G中存在長度大于或等于 4的圈。 證明 不妨設(shè) G是連通圖,否則,因為 G的各連通分支的最小度也都大于或等于 3,因而可對它的某個連通分支進(jìn)行討論。設(shè) u,v為 G中任意兩個頂點,由 G是連通圖,因而 u,v之間存在通路,由 定理 , u,v之間存在路徑,用 “ 擴(kuò)大路徑法 ” 擴(kuò)大這條路徑,設(shè)最后得到的 “ 極大路徑 ” 為 Г l=v0v1… vl, 易知 l≥ 3。若 v0與 vl相鄰,則 Г l∪ (v0,vl)為長度大于或等于 4的圈。否則,由于 d(v0)≥δ (G)≥ 3, 因而 v0除與 Г l上的 v1相鄰?fù)?,還存在 Г l上的頂點 vk(k≠ 1)和 vt(k< t < l )與 v0相鄰,則v0v1… vk… vtv0為一個圈且長度大于或等于 4,見圖。 二部圖定義 設(shè) G= V,E為一個無向圖,若能將 V分成 V1和V2(V1∪ V2= V,V1∩ V2= ?), 使得 G中的每條邊的兩個端點都是一個屬于 V1, 另一個屬于 V2, 則稱 G為 二部圖 (或稱 二分圖 , 偶圖 等),稱 V1和 V2為 互補(bǔ)頂點子集 。常將二部圖 G記為 V1,V2,E。若 G是簡單二部圖, V1中每個頂點均與 V2中所有頂點相鄰,則稱 G為 完全二部圖 ,記為 Kr,s, 其中 r= |V1|, s= |V2|。 說明 n階零圖為二部圖。 二部圖舉例K6的子圖 K6的子圖 K3,3K2,3 K3,3 K2,3二部圖的判定定理定理 一個無向圖 G= V,E是二部圖當(dāng)且僅當(dāng) G中無奇數(shù)長度的回路。證明 必要性 。若 G中無回路,結(jié)論顯然成立。若 G中有回路,只需證明 G中無奇圈。設(shè) C為 G中任意一圈,令 C= vi1vi2… vilvi1, 易知 l≥2 。不妨設(shè) vi1∈ V1, 則必有 vil∈ VV1=V2,而 l必為偶數(shù),于是 C為偶圈,由 C的任意性可知結(jié)論成立。二部圖的判定定理充分性 。不妨設(shè) G為連通圖,否則可對每個連通分支進(jìn)行討論。設(shè) v0為 G中任意一個頂點,令V1= {v|v∈ V(G)∧ d(v0,v)為偶數(shù) }V2= {v|v∈ V(G)∧ d(v0,v)為奇數(shù) }易知, V1≠ ?,V2≠ ?,V1∩ V2= ?, V1∪ V2= V(G)。下面只要證明 V1中任意兩頂點不相鄰 ,V2中任意兩點也不相鄰。若存在 vi,vj∈ V1相鄰,令 (vi,vj)= e,設(shè) v0到 vi,vj的 短程線 分別為 Г i,Г j,則它們的長度 d(v0,vi),d(v0,vj)都是偶數(shù),于是 Г i∪Г j∪ e中一定含奇圈,這與已知條件矛盾。類似可證, V2中也不存在相鄰的頂點,于是 G為二部圖。 圖的矩陣表示定義 設(shè)無向圖 G= V,E, V= {v1,v2,… ,vn}, E={e1,e2,… ,em}, 令 mij為頂點 vi與邊 ej的關(guān)聯(lián)次數(shù),則稱(mij)n m為 G的 關(guān)聯(lián)矩陣 ,記作 M(G)。有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣定義 設(shè)有向圖 D= V,E中無環(huán), V= {v1,v2,… ,vn}, E= {e1,e2,… ,em}, 令 則稱 (mij)n m為 D的 關(guān)聯(lián)矩陣 ,記作 M(D)。有向圖的鄰接矩陣定義 設(shè)有向圖 D= V,E, V= {v1,v2,… ,vn}, E={e1,e2,… , em}, 令 aij(1)為頂點 vi鄰接到頂點 vj邊的條數(shù),稱(aij(1))nn為 D的 鄰接矩陣 ,記作 A(D), 或簡記為 A。有向圖的可達(dá)矩陣定義 設(shè) D= V,E為有向圖。 V= {v1,v2,… ,vn}, 令 pij= 1 vi 可達(dá) vj0 否則稱 (pij)n n為 D的 可達(dá)矩陣 ,記作 P(D), 簡記為 P。 圖的運算定義 設(shè) G1= V1,E1, G2= V2,E2為兩個圖。若 V1∩ V2= ?, 則稱 G1與 G2是不交的 。若 E1∩ E2= ?, 則稱 G1與 G2是 邊不交的 或 邊不重的 。 說明: 不交的圖,必然是邊不交的,但反之不真。圖的運算定義 設(shè) G1= V1,E1, G2= V2,E2為不含孤立點的兩個圖(它們同為無向圖或同為有向圖) 。(1)稱以 E1∪ E2為邊集,以 E1∪ E2中邊關(guān)聯(lián)的頂點組成的集合為頂點集的圖為 G1與 G2的 并圖 ,記作 G1∪ G2。(2)稱以 E1E2為邊集,以 E1E2中邊關(guān)聯(lián)的頂點組成的集合為頂點集的圖為 G1與 G2的 差圖 ,記作 G1G2。 (3)稱以 E1∩ E2為邊集,以 E1∩ E2中邊關(guān)聯(lián)的頂點組成的集合為頂點集的圖為 G1與 G2的 交圖 ,記作 G1∩ G2。 (4)稱以 E1⊕ E2為邊集(為集合之間的對稱差運算),以E1⊕ E2中邊關(guān)聯(lián)的頂點組成的集合為頂點集的圖為 G1與 G2的環(huán)和 ,記作 G1⊕ G2。 定義 (1)若 G1= G2, 則G1∪ G2= G1∩ G2= G1(G2)G1G2= G2G1= G1⊕ G2= ?這就是在圖的定義中給出空圖概念的原因。 (2)當(dāng) G1與 G2邊不重時,G1∩ G2= ? G1G2= G1G2G1= G2 G1?G2= G1∪ G2 (3)圖之間環(huán)和的定義也可以用并、交、差給出,即G1⊕ G2= (G1∪ G2)(G1∩ G2)基本要求q 理解與圖的定義有關(guān)的諸多概念,以及它們之間的相互關(guān)系。q 深刻理解握手定理及其推論的內(nèi)容,并能熟練地應(yīng)用它們。q 深刻理解圖同構(gòu)、簡單圖、完全圖、正則圖、子圖、補(bǔ)圖、二部圖等概念及其它們的性質(zhì)和相互關(guān)系,并能熟練地應(yīng)用這些性質(zhì)和關(guān)系。q 深刻理解通路與回路的定義、相互關(guān)系及其分類,掌握通路與回路的各種不同的表示方法。q 理解無向圖的點連通度、邊連通度等概念及其之間的關(guān)系,并能熟練地求出給定的較為簡單的圖的點連通度與邊連通度。q 理解有向圖連通性的概念及其分類,掌握判斷有向連通圖類型的方法。作業(yè)
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