【正文】 2． 有限差分法地震偏移技術(shù) 如前所述 ， 水平疊加地震剖面 可以看做是 自激自收地震剖面 ；又可以看做是所有反射面同時爆炸產(chǎn)生波源向地面?zhèn)鞑?， 被地面的接收器記錄的 上行波剖面 。 對于這種觀測結(jié)果 ， 為了成像 ， 要求 向地面以下反向外推地震波場 。 在外推過程中假設(shè)地震剖面上無任何多次波 ， 也不存在任何規(guī)則干擾波 ， 如折射波等 。 如果在剖面上存在這些波 ， 在外推過程中也都按反射一次波處理 ， 但它們是不能正確歸位的 ， 只能造成偏移成像剖面的干擾 。 因此 ， 如果存在這些波 ， 應(yīng)當在偏移處理前把它們?yōu)V掉 。 1） 浮動坐標下的有限差分法地震偏移 采用浮動坐標系 , 只討論一級近似的上行波二階偏微分方程（ ） 的有限差分偏移問題 。 考慮到爆炸反射面的概念 ， 用v/2速度代替 v。 這樣 ， （ ） 式可重新寫成： 04 222??????? x uvzt u （ ） 這里的速度，假設(shè)它是常數(shù)，在實用中它可以隨 和 而變。 ()式存在于空間 內(nèi)，給定的混合條件為： )0,0,( ZzTtx ??????????0),( ?Tzxu0),( ??? t Tzxu),(),0,( txtzxu ???0),( ?tZxu（ ） （ ） （ ） （ ） 式中 即為在地面所觀測的地震波場。 ),(),0,( txtzxu ???x z 目的 : 通過解上述微分方程求出地面以下任何點 （ ）上的曾經(jīng)在該點出現(xiàn)過的上行波的波場值 (位移或壓力場振幅 ) 。 這樣的問題是適定的 ， 可解的 。 0, ?zx),( tzxu 下面用有限差分法來解這個方程。采用對稱隱式 (CrankNicolson)的差分格式（圖 124）。 實用中，常采用下列符號： 圖 124 差分格式 )2(1)(1),(),(21,121,21,1221,1,21,njinjinjinjixxnjinjinjitnjiuuuxuuututzxutjznxiuu?????????????????????? 對圖 124格式的中心點進行差分，（ ）式可化為如下的差分方程： )(?)(?21212121 ,1,1,njinjixxnjinjit uuauu ?????? ???? ??（ ） 式中 2222?,?,8 xxxxxtt xxtxztva ????? ??????????由（ ）式整理得： njixxtnjixxt uaua 2121 ,1, )??()??(??? ??? ????（ ） 為了求出以整采樣點為依據(jù)的表達式，（ ）式可寫成： )(?2)(?2 ,1,1,1,1 1,1,1 1, n jin jixxn jin jin jin jixxn jin ji uuauuuuauu ??????? ???? ??? ? ??（ ） 從（ ）式可以解出求 的遞推式。把 求 做為遞推結(jié)果值，不取 作為遞推 結(jié)果值是從物理條件（ ）式考慮的，這也是計算穩(wěn)定性所要求的。（ ）式經(jīng)過簡單整理后得： ),(1, tzzxuu n ji ????1,?njiu ),(1 1, ttzzxuu n ji ?????? ?n jixxn jixxn jixxn jixx uIuIuIuI 1,1 1,1, )?()?()?()?( ?? ?? ??????? ????????（ ） 式中 )0,1,0(,162 2 ?? ????? Ix ztva 算子 （ ）式寫成矩陣式為： njnjnjnj AUUUBAU 1111 )( ???? ???（ ） 式中 、 為三對角矩陣。 為在 深度層和 時 間層上沿 軸的波場值的列向量。 ， 和 為相應(yīng)層上沿 x軸的波場值列向量。 A B njUznz ?? tjt ??x njU 1? 1?njU 11??njU這些矩陣和列向量表示如下： ???????????????????????????????????????????2102102121??????A????????????????????????????????????2102102121?????B（ ） （ ） ? ?Tn jIn jin jn jn jnj uuuuuU 1,1,1,31,21,11 . . . . . . .. . . . . . . ., ?????? ?? ?Tn jIn jin jn jn jnj uuuuuU 1 1,1 1,1 1,31 1,21 1,111 . . . . . . .. . . . . . . ., ? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?Tn jIn jin jn jn jnj uuuuuU ,1,3,2,1 . . . . . . .. . . . . . . .,?? ?Tn jIn jin jn jn jnj uuuuuU 1,1,1,31,21,11 . . . . . . .. . . . . . . ., ?????? ?（ ） （ ） （ ） （ ） 如果把差分算子 取為 ，這相當于差分加權(quán)，可提高差分精度。這時差分方程（ ）可改寫為： xx?? )?/(? xxxx I ??? ?? ? ? ? ? ? n jixxn jin jixxn jixx uIuuIuI 1,1 1,1, ?)()(?)(?)( ?? ?? ????????? ?????????（ ） 式中 。 61??上式可以寫成矩陣式() ,不過，矩陣 A和 B由下面的矩陣表示。 ???????????????????????????????????????????????????)(21)()(00)()(21)()()(21????????A??????????????????????????????????????????????)(2100)(21)(21????????B（ ） （ ） 只要矩陣 A可逆，（ ）可解。得到： njnjnjnj UUUBAU 11111 )( ????? ???（ ） 矩陣 A中的主對角元素是優(yōu)勢元素。因為 永遠大于零。因此總有： ????? 221 或者 ?????612232因而矩陣 A的行列式不為零，即 0det ?A所以矩陣 A是可逆的。 （ ） 矩陣方程（ ）式可用 矩陣方法 求解，也可以改寫為代數(shù)方程組后用 追趕法 求解， 要求：差分方程必須穩(wěn)定 。 在浮動坐標系中，成像時間是 。 vzt /239。?2）一般坐標下的有限差分法地震偏移 若按一般坐標系 ， 疊加地震剖面的有限差分偏移成像過程可用圖 125說明 。 圖 125為 （ x,z,t） 坐標系 ， 地震剖面在 （ x,t） 平面上 ， 偏移剖面則在 （ x,z） 平面上 。 有限差分偏移是按一定步長的 z來外推地震剖面 （ x,t） ,每外推一個步長 ， 就將 t=0的波場作為輸出 。 這些輸出結(jié)果就組成了偏移剖面 （ x,z,t=0） 。 3）有限差分法逆時偏移 Baysal等人在 1983年提出了有限差分逆時偏移的方法 ， 它是從一個波場為零的 （ x,z） 起始平面 ， 按時間反推 ， 并以地震剖面資料 u（ x,z=0,t） 作為每一步進時間的邊界條件 （ z=0） ,得出時間 t=0的 （ x,z） 平面就成為偏移結(jié)果 u（ x,z,t=0） （ 見圖 126） 。 圖 125. 地表 z=0的地震剖面 （ x,t） ， 它向下延拓獲得各個離散深度上的時間剖面 。這里用粗黑箭頭指出外推方向 ， 偏移獲得的剖面用 t=0（ 根據(jù)成像原理 ） 的 （ x,z）平面表示 。 圖 126. 逆時偏移從數(shù)據(jù)體底部的全零 （ x,z）平面開始 ， 按時間向 t=0反推 ， 計算出不同時間的 （ x,z） 平面切片；這些地下切片在圖中用一系列水平面來表示 ， 反推方向按粗黑箭頭所示 ，每個時間平面 （ x,z） 都包含有出自地震剖面的邊界值 （ 虛線表示的 z=0平面上的 x線 ） ， t=0的 （ x,z） 平面即為偏移剖面 （ 頂部的水平面 ） 3．吸收邊界條件 仍然討論二維情況。二維波動方程： 01 2222222????????? t uvz ux u（ ） 一般求解域： ? ?0,0,),( ??????????? tzxtzx實際求解域： ? ?Ttbzaxatzx ????????? 0,0,),(?0),( ?? tzxu a 0),( ???? tzxxu a0),( ?tbxu 0),( ??? tbxzu在求解的過程中，一般給定如下的邊界條件： （ ） （ ） （ ） （ ） 這樣 ， 就在兩邊和底界人為地造成了邊界 ， 稱之為 計算邊界 。這樣的邊界不可避免地會產(chǎn)生 邊界反射 。 這個邊界反射是很強的 。 在現(xiàn)代偏移技術(shù)中為了避免在有用的地震剖面范圍內(nèi)出現(xiàn)邊界反射波 ， 常常要在地震剖面的兩邊進行擴邊 ， 擴邊道有時要達到 96道或更多 。 這就會使計算量和設(shè)備資源使用量增大 。為了克服這個不足 ， 提出了使用 吸收邊界條件 的算法 。 首先 ， 分析一下波入射到邊界上的情況 。 考慮一個入射到右邊邊界上的簡諧平面波： 20)s i nco s(???????? ?? kzkxtiI eu （ ） 式中 為平面波波前與 x軸間的夾角， k為波數(shù)，等于 。 ? v/?在 的區(qū)域上的反射波為： axx ?)sinc o s(Re ?????? kzkxtiRu （ ） 在 區(qū)域上總的波場為： axx ?)sinc o s()sinc o s( Re ?????????? ???? kzkxtikzkxtiRI euuu（ ） 把（ ）代入（ ）中，則得到反射系數(shù)： 1?R說明反射系數(shù)是很強的。為了導(dǎo)出吸收邊界，必須采用一種算子 B，使得它作用在邊界上的波場時，波場值等于零，即 0)( ?? RI RuuB （ ） 考慮到我們的邊界條件是線性的，可以求出反射系數(shù)： )()(RIuBuBR ?? （ ） ),(~),(~??zRzIkxBkxBR???（ ） 或 從上式可以看出 ， 要選擇這樣一個算子 ， 當它作用在波場上時 ， 使界面上入射的波如同無邊界那樣 ， 就不會產(chǎn)生邊界反射了 。 為此要使 ， 實際上就是要把波動方程分解為左行波方程和右行波方程 。 把 右行波方程取為左邊界的邊界條件 ， 把左行波方程取為右邊界的邊界條件 。 這與把波動方程分解為上行波和下行波方程的做法是一樣的 。 B0~ ?IB1）吸收邊界條件的推導(dǎo) 把波動方程（ ）式對