【正文】 =（ 3）互譜是有界函數(shù) ? ? ? ? ? ?x y x yS S S? ? ??2（ 4）兩個不相關且均值為零的隨機過程 ? ? 0xyS ? =72 作業(yè)： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?2222224d1 d 12 E X21 E X2xxxxxxRRSSSdSd???? ? ?? ? ??? ? ????????????????? ????? ?????73 56 線性系統(tǒng)在隨機激勵下的響應 ? 設系統(tǒng)受到的平穩(wěn)隨機激勵為 ， 它的一個 樣本函數(shù) ， 引起的響應可根據(jù) Duhamel積分 得到： ()Ft()ft( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t f h t d f t h d? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ???()Xt()Xt()Ft?討論線性振動系統(tǒng)只受一個平穩(wěn)隨機激勵時的情況。 ?所有的樣本函數(shù)引起的響應的全體 為一個隨機過程，討論： 統(tǒng)計性質以及它與 激勵 的統(tǒng)計性質的關系。 74 1 響應的均值 [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] ( )E X t E f t h d E f t h d? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???對于平穩(wěn)過程： [ ( ) ] [ ( ) ] fE f t E f t??? ? ?因此 [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( 0 ) fE X t E F t h d H? ? ?????? ?75 2. 響應的自相關函數(shù) ( ) [ ( ) ( ) ]xR E x t x t????根據(jù) Duhamel積分，有 1 1 1( ) ( ) ( )x t h f t d? ? ???????2 2 2( ) ( ) ( )x t h f t d? ? ? ? ????? ? ? ??76 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) ( ) [ ( ) ( ) ]xR E x t x tE h h f t f t d dh h E f t f t d d??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?????1 2 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )fE f t f t E f t f t R? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )xfR h h R d d? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???因此 ?線性振動系統(tǒng)受到平穩(wěn)過程激勵后的響應也是平穩(wěn)過程 。 ?如果激勵是各態(tài)遍歷過程 ， 則響應也是各態(tài)遍歷過程 。 77 3. 響應的自譜以及均方值 12121 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 21 1 2 2( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )jxxjfifiifiiffS R e dh h R e d d dh h R e d d dh h e e d d Sh e d h e d SH H S???????? ???? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?????????????????? ? ? ???? ? ?? ? ????????????? ?????2( ) ( )fHS ??00[ ( )] [ ( )]itF f t t e F f t???在上面的證明過程中用到了傅里葉變換的性質： 78 22 11 ( ) ( ) ( )22x x fS d H S d? ? ? ? ? ?????? ? ? ?????響應的均方值 79 4. 激勵與響應的互相關函數(shù)和互譜 激勵與響應的互相關函數(shù)為 ( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( )fxfR E f t x tE f t h f t dE h f t f t dh E f t f t dh R d??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????????? ? ?? ? ?? ? ???????80 例 55 如果激勵為白噪聲，求激勵與響應的互相關 函數(shù)。 0()fSS? ?激勵的自相關函數(shù)為 000001()2c os2l im c os22 sinl im2()jfR S e dSdSdSS??????? ???? ????????????????? ? ?? ? ??????????81 激勵為白噪聲時激勵與響應的互相關函數(shù) 00( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )fx fR h R dS h dSh? ? ? ? ?? ? ? ? ??????????????在白噪聲激勵下激勵與響應的互相關函數(shù)與系統(tǒng)的脈沖響應成正比。 ?在實際中可以用這個性質來測定系統(tǒng)的脈沖響應。 82 激勵與響應的互譜 ? ?( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( )jfx fxififfS R e dh R e dh e S dHS??????? ? ?? ? ? ?? ? ??????????????????()()()fxfSHS????83 例 56： 求單自由度系統(tǒng)的基礎以白噪聲運動時 響應的自譜和均方值 解：基礎運動的自譜為 0()ySS? ?基礎運動時系統(tǒng)的頻響函數(shù)為 2()k j cHk m j c????????因此響應的自譜為 2 2 22 02 2 2()( ) ( ) ( )( ) ( )xyk c SS H Sk m c?? ? ????????84 響應的均方值為： 22 2 202 2 2220201( ) ( )2()2 ( ) ( )()2414xxnt S dS k c dk m cS k c m kkcmS? ? ????? ? ???? ?????????????????????85 大作業(yè) 1： 汽車的二自由度模型 為懸掛質量（車身質量）， 為非懸掛質量 （車輪質量）， 為懸掛剛度， 懸掛阻尼系數(shù)， 為車輪剛度 m tmktkcmtmk ctkztzq86 推導： 1 運動微分方程 2 固有頻率和振型 3 車身位移 對 的頻響函數(shù) 4 車身加速度 對 的頻響函數(shù) 5 懸掛動位移 對 的頻響函數(shù) 6 懸掛動速度 對 的頻響函數(shù) z qz qtzz?qqtzz?87 大作業(yè) 2： 汽車的單自由度模型 路面功率譜密度 ? ? ? ? 200 2qq uG f G n n f?? ?0qGn其中， — 路面不平度系數(shù) 0n— 參考空間頻率， 10 0 .1 mn ?B級路面： F級路面： ? ? 630 6 4 * 1 0 mqGn ??? ? 630 1 6 3 8 4 * 1 0 mqGn ??88 1 證明： 路面速度譜 ? ? ? ?22 004qqG f G n n u??2 求 車身位移 響應的自譜和均方值 3 求 車身加速度 響應的自譜和均方值