尺度空間ppt課件-資料下載頁
2025-04-28 23:58本頁面
【正文】 將上述關系用到關于 u的二次式（定義 5）中，并滿足D2u(x) = A, Du(x) = p，那么 Tt+h,t (Bu) = B(Tl(t+h),ltu)即 Tt+h,t (u 。 B ) = (Tl(t+h),ltu) 。 B對上式兩邊在 h=0出求偏導得到：由于 D2(u 。 B) = BT(D2u 。 B)B 和 D(Bu) = BT(Du 。 B)并利用規(guī)則性和題設條件，得到F( BT(D2u 。 B)B,BT(Du 。 B),t ) = lF(D2u 。 B,Du 。 B, lt)可以推出 F( BTAB,BTp,t ) = | detB |1/2 F(A,p,| detB |1/2t )用 BT替換 B就得到結論。 ■定理 12：為了得到 C=D，利用 ‘反對比不變性 ’已足夠，它把對比不變性 Tt+h,t。 g = g。 Tt+h,t擴展到不減對比函數(shù) g。證明 ：由定理 11，如果一個因果的尺度空間是仿射不變的，那么經過適當?shù)闹匦聵藴驶螅慕粨Q函數(shù) F滿足 F( BTAB,BTp,t ) = | detB |1/2 F(A,p,| detB |1/2t)對任意的線性映射 B成立。首先將這個關系應用到 B = cid的情況，則通過上面的關系，有 c |p| G(c227。2,2(A,p),t) = c |p| (227。2,2(A,p),ct)既然這個關系對任意的 A,p,c,t都成立，則有： ? c, s, t≥0, G(cs,t) = G(s,ct)選擇 c = t 1，得到 G(s,t) = G(st,1) = b(st)， b為一不減函數(shù)。這就證明了定理的第一個陳述。推廣到一般的仿射不變性。為了驗證冪指數(shù) 1/3，只需表達出在正交的特殊情況下，仿射不變性和起決定作用的 1的密切關系，事實上，每一個平面線性映射都是等距和 B(l)的一個乘積，總是通過等距充分利用不變性。首先計算因此，由 *有我們知道把這個關系用到仿射不變性關系中得到 |Bp| b(t227。2,2(BTAB,Bp)) = |p| b(t227。2,2(A,p))取 p2=0, p1=1, a2,2=1，有上面的關系得 |l| b(t∕ l3) = b(t) ■ 一個例子：線性尺度空間定理 13：令 {Tt}t∈ R+是一個因果的尺度空間，并具有以下性質：對于任意x∈ R2， p∈ R2和 22的對稱矩陣 A，存在圖像函數(shù) u滿足 Du(x) = p,D2u(x) = A。如果尺度空間中的轉移算子 Tt,s是線性的并且是歐氏不變的，那么函數(shù)u(t,x)=(Ttu0)(x)是下面熱傳導方程在 t時刻的解證明 ：既然這個尺度空間是平移不變的，所以 F(A,p,x,c,t) = F(A,p,c,t)并且對于灰度平移也是不變的，所以 F(A,p,c,t) = F(A,p,t)如果 u是任意的 C2函數(shù)，由定理 1從 Tt+h,t的線性性質可以推出 F對于 u是線性的，因此對于任意實數(shù) r,s和任意的 C2函數(shù) u,v有下面關系成立 F( rD2u+sD2v,rDu+sDv,t ) = r F(D2u,Du,t) + s F(D2v,Dv,t)在這些變量中，固定 t且忽略它，用 F(A,p)代替 F(A,p,t)，對于任意向量 p,p′和對稱矩陣 A,A′有： F( rA+sA′,rp+sp′) = r F(A,p) + s F(A′,p′)和 F(A,p) = F(A,0) + F(0,p)可以得到 F(A,p) = F1(p) + F2(A)，并且 F1,F2是線性的。通過尺度空間的歐氏不變性，有 F( RTAR,RTp ) = F(A,p)，對 R2中任意保距變換 R取 A=0，從前面的關系中推出 F1(Rp) = F1(p)，對任意的保距變換 R。既然 F1是線性的，只有可能 F1(p) = 0，對任意的 p。這樣， F(A,p) = F1(A)。再根據歐氏不變性，有 F2(RTAR)= F2(A)，對任意的 R和任意的對稱矩陣 A都成立。而每一個對稱矩陣都能用一組正交基對角化，并且每一對正交基都能通過一個保距變換改變。我們看到， F2值依賴于 A的特征值 l1,…, ln，有 F2(A) = F2(l1,…, ln)而特征值的次序也能通過等距變換改變，又因為F2(l1,…, ln)在特征值的任何置換下不變，即 F值依賴于特征值的對稱函數(shù)。于是，在上述的線性對稱系統(tǒng)中， l1,…, ln這 n個變量的對稱函數(shù)依賴于它們的和。這樣， F2(A)只依賴 A的跡，也就是存在某個常數(shù) c，滿足 F2(A) = c trace(A)綜上所述，得出結論 F(D2u,Du) = c△ u。既然 F對于 A是單調遞增的，且 c是非負的，按前面的結論，我們忽略了 F中的 t，這樣實際的推論是 F(D2u,Du,t) = c(t)△ u，對某個連續(xù)的、非負的函數(shù) c(t)。通過 ?t′(t) ∕ ?t = c(t) 得到新尺度 t′(t)，可得到一個標準形式的熱傳導方程 ?u∕ ?t′ △ u = 0 ■
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