【正文】 果每分鐘走米，上課就要遲到分鐘；如果每分鐘走米，就可以比上課時間提前分鐘到校。小強家到學校的路程是多少米？【解析】 遲到分鐘轉化成米數(shù)：（米），提前分鐘到校轉化成米數(shù)：（米），距離上課時間為：（分鐘），家到學校的路程為：（米）．【鞏固】 東東從家去學校，如果每分走80米，結果比上課提前6分到校，如果每分走50米，則要遲到3分，那么東東家到學校的路程是______米．【解析】 這道題看似行程問題，根據(jù)已知，(分鐘)，然后可求東東家離校的路程為：(米)．【鞏固】 王老師由家里到學校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，？【解析】 遲到3分鐘轉化成米數(shù)：5003=1500（米），提前兩分鐘到校轉化成米數(shù)：6002＝1200（米）王老師家到學校需要（1500＋1200）247。（6050）=270（分鐘），王老師家到學校的路程：500（270+3）＝136500（米）【鞏固】 學校規(guī)定上午8時到校，小明去上學，如果每分種走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？【解析】 小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走6010＝600（米）；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走508＝400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），從而可以求出小明由家到校所需時間．（1）10分種走多少米？6010＝600（米），（2）8分種走多少米？508＝400（米），（3）需要時間： （600－400）247。（60－50）＝20（分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到校.（4）由家到校的路程： 60（20－10）＝600（米）或：50（20－8）＝600（米）．【例 16】 “六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數(shù)量相等．花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？【解析】 花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個．那么，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花（元），共需要（元）．現(xiàn)在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30個需要（元），說明花球和白球各買30個能省下（元）．現(xiàn)在共省了4元，說明花球和白球各有（個），共買了（個）．【例 17】 （2009“數(shù)學解題能力展示”中年級組復試題）幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖．她發(fā)給每個小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖．發(fā)完后清點一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________個小朋友．【解析】 畫線段圖分析，由題意知：從奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如圖：那么2小段和5份都看成10份量，那么總量就相當于19份量，水果糖中原有的8份就是現(xiàn)在的16份，則剩下的15塊水果糖就占有3份，則1份就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數(shù)量是：（塊），小朋友的人數(shù)是：（人）．方法二：由上圖知，設發(fā)完后奶糖剩下份，則巧克力剩下份，而巧克力與奶糖每人分得相差塊，對應剩下的糖相差份，水果糖與奶糖每人分得相差塊，則對應剩下的糖應相差份，所以水果糖最后應剩下份，恰是塊，所以1份對應的是，所以應用盈虧問題共有（人）．【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊．小唐喝前兩盒咖啡時每袋咖啡都放3塊方糖，結果共用了1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當于喝6盒咖啡每袋放1塊糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1塊糖，所以喝后3盒用掉的方糖總量是前2盒用掉方糖量的一半．同時，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24塊，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12塊，因此一包又24塊方糖與兩包差24塊方糖一樣多，一包方糖有（塊）．于是喝前兩盒咖啡用掉方糖（塊），每盒咖啡的袋數(shù)為：（袋）．【鞏固】 巧克力每盒塊，軟糖每盒塊，要把這兩種糖分發(fā)給一些小朋友，每種糖每人一塊，由于又來了一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發(fā)的盒數(shù)就一樣多，現(xiàn)在又來了一位小朋友，巧克力還要增加一盒，則最后共有多少個小朋友？【解析】 新來了一位小朋友，就要增加一盒軟糖，說明在此之前，軟糖應該是剛好分完幾整盒，所以原來的小朋友人數(shù)是的倍數(shù)．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再來一盒了，說明原有的小朋友分幾整盒巧克力糖之后還剩下一塊，也就是說，原有的小朋友人數(shù)是9的倍數(shù)減．符合這兩個條件的最小的數(shù)是，而且它剛好滿足原有的巧克力比軟糖多一盒的條件，所以原有個小朋友，最后有個小朋友．【例 19】 有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7張；如果每人分8張卡片，則還缺少5張．現(xiàn)在把所有卡片都分完，每人分到60張，而且還多出4張．問：共有多少個小朋友？【詳解】 首先由題意，一盒卡片每人分7張則有剩余，每人分8張則少5張，證明總人數(shù)多于5個．如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到（張）卡片，還缺35張，卡片張數(shù)比題中所述要少．如果一共有9盒卡片，則只要再添上（張）卡片，就能使所有人每人分到（張），人數(shù)為，不滿足總人數(shù)多于5個的要求．類似地，當卡片總盒數(shù)多于9時，都不滿足總人數(shù)多于5個的要求．因此卡片一共有8盒，添上（張）卡片，就能使所有人每人分到（張），所以總人數(shù)為：（人）．(二解)，說明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們在每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到（張），現(xiàn)在實際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張后多下來的，還有40張是我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，（人），說明有11人．【例 20】 ，那么梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，? 【解析】 容易看出這是一道盈虧應用題，“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”“搭配”若干個梨，“1個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配5/3個梨，多1個梨”，此時盈虧總額為(個)梨，兩次分配數(shù)之差為(個)(個)，有梨(個).【鞏固】 有若干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個梨分一堆，那么蘋果分完時，還剩2個梨；如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時，？【解析】 1個蘋果配3個梨，多2個梨；半個蘋果配2個梨，即1個蘋果配4個梨，剩半個蘋果，（2+2）247。（43）=4（個），梨有 34+2=14（個）.【例 21】 幼兒園老師給小朋友分糖果．若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊．那么糖果最多有多少塊？【分析】 最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊．根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（人），糖果最多有（塊）；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（人），糖果最多有（塊）；所以，這批糖果最多有154塊．【例 22】 幼兒園有三個班，甲班比乙班多人，乙班比丙班多人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分個棗，結果甲班比乙班共多分個棗，乙班比丙班總共多分個棗．問：三個班總共分了多少個棗？【解析】 設丙班有個小孩，那么乙班就有個小孩，甲班有個小孩．乙班每個小孩比丙班每個小孩少分個棗，那么個小孩就少分個棗，而乙班比丙班總共多分個棗，所以多出來的那個小孩分了個棗． 同樣的道理，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分個棗，那么個小孩就少分個棗，而甲班比乙班總共多分個棗，所以多出來的那個小孩分了個棗．甲班每個小孩比乙班每個小孩少分個棗，個小孩就少個棗，因此我們得到：，解得． 所以，丙班有個小朋友，乙班有個小朋友，甲班有個小朋友；甲班每人分個棗，乙班每人分個棗，丙班每人分個棗．—共分了（個）棗．【鞏固】 有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問第二組有多少人？【解析】 如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．說明第一組人數(shù)少于（人），多于，即9人；如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．說明第二組人數(shù)少于（人），多于（人）；因為已知第二組比第一組多5人，所以，第一組只能是10人，第二組15人．【例 23】 “六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數(shù)量相等．花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？【解析】 花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個．那么，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花（元），共需要（元）．現(xiàn)在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30個需要（元），說明花球和白球各買30個能省下（元）．現(xiàn)在共省了4元，說明花球和白球各有（個），共買了（個）．【鞏固】 有紅、黃、綠3種顏色的卡片共有100張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有1和2，黃色卡片的兩面上分別寫著1和3，綠色卡片的兩面上分別寫著2和3．現(xiàn)在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數(shù)字的那面朝上，經(jīng)計算，各卡片上所顯示的數(shù)字之和為234．若把所有卡片正反面翻轉一下，各卡片所顯示的數(shù)字之和則變成123．問黃色卡片有多少張？【解析】 開始的時候，黃色和綠色的卡片上都是3，紅色卡片上是2．如果全部是紅色卡片，那么數(shù)字之和為：，比實際的少：．每增加一張黃色或綠色卡片，那么數(shù)字就會增加：．那么，黃色和綠色卡片之和：（張），紅色卡片有：（張）．翻轉過來后，紅色和黃色卡片上都是1，綠色卡片上是2．紅色卡片有66張，剩下的綠色和黃色卡片上的數(shù)字之和為：．如果34張卡片都是黃色的，那么這34張卡片上的數(shù)字之和為：，比實際的少：．每增加一張綠色卡片，數(shù)字之和就會增加：，所以，綠色卡片有：（張），黃色卡片有：（張）．【例 24】 四(2)班在這次的班級評比中，獲得了“全優(yōu)班”的稱號．為了獎勵同學們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮．劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優(yōu)秀學生．如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時還剩5支鉛筆．那么，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆? 【解析】 如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15247。(6—5)=15(堆)，所以，橡皮數(shù)為：153=45(塊)，鉛筆數(shù)為：156—10=80(支)．【鞏固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔裝一個籠子，小白兔恰好裝完，小灰兔還多12只”說明小白兔少了12247。37＝28（只），這樣原來籠子數(shù)有：（28＋4）247。（7－5）＝16（個），所以小白兔有165＋4＝84（只），小灰兔有163＝48（只），合起來有84＋48＝132（只）．7．牛吃草問題 基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。 基本特點：原草量和新草生長速度是不變的； 關鍵問題：確定兩個不變的量。 基本公式： 生長量=（較長時間長時間牛頭數(shù)較短時間短時間牛頭數(shù)）247。（長時間短時間）； 總草量=較長時間長時間牛頭數(shù)較長時間生長量； 牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場 牛吃草問題的歷史起源：英國數(shù)學家牛頓(1642—1727)說過：“在學習科學的時候，題目比規(guī)則還有用些”因此在他的著作中，每當闡述理論時，總是把許多實例放在一起。在牛頓的《普遍的算術》一書中，有一個關于求牛和頭數(shù)的題目，人們稱之為牛頓的牛吃草問題。，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰ 　　假設定一頭牛一天吃草量為“1” 　　1）草的生長速度＝（對應的牛頭數(shù)吃的較多天數(shù)－相應的牛頭數(shù)吃的較少天數(shù)）247。（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）； 　　2）原有草量＝牛頭數(shù)吃的天數(shù)－草的生長速度吃的天數(shù)；` 3）吃的天數(shù)＝原有草量247。（牛頭數(shù)－草的生長速度）； 　　4）牛頭數(shù)＝原有草量247。吃的天數(shù)＋草的生長速度。 　　這四個公式是解決消長問題的基礎。 　　由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。正是由于這個不變量，才能夠導出上面的四個基本公式。 　　牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。 　　解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題總所求的問題。 　　這類問題的基本數(shù)量關系是： 　　1.(牛的頭數(shù)吃草較多的天數(shù)牛頭數(shù)吃