第三節(jié)空間曲線-資料下載頁
2024-10-24 14:38本頁面
【導(dǎo)讀】在所求密切面上。也可以用行列式表示：。給出類曲線和上一點。由知伏雷內(nèi)標(biāo)架構(gòu)成右手系。單位向量稱為曲線的基本向量。曲率刻畫了曲線的彎曲程度?；￠L的旋轉(zhuǎn)速度。的線性組合來表示。系數(shù)組成反稱的方陣。以為圓心，以為半。稱為曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲率半徑。例證明曲率恒等于零的曲線是直線。
【正文】 ? ? ?? ? ?由上述（ ）可知 是兩兩正交的單位向量。于是有 但是混合積 是 的連續(xù)函數(shù)，由于當(dāng) 時它等于 +1，所以對于所有的 都為 +1，即 成右手系。 由此得出 是兩兩正交的構(gòu)成右手系的單位向量。 ,? ? ?( , , ) 1 ,? ? ? ??( , , )? ? ?s0ss?s,? ? ?,? ? ?（ 3）由于已得到 ，把（ ）中的第一個式 子兩端積分，利用初始條件 即得曲線 的方程 （ ） （ 4）因為 所以弧長 即 若取 則得 為曲線的自然參數(shù) ?（ s）00r ( s ) = r0()sss ds?? ?0r=r1r ???（ s ）000ssssr ds ds s s? ? ? ???=? 0=ss0s =0?=ss（ 5）由 可知 為曲線的切向量， 再由 ，可得 為 曲線的曲率。有（ ）中的第二式可知 是 所求曲線的主法向量。再根據(jù)（ 2）， 是曲線 的副法向量。所以 是曲線的基本向量。 drds ???（ s）k ? ? ? ?? = (s) = （ s ）?（ s）?（ s）?（ s）( ) , ( )ss? ? ?（ s ） ,（ 6）曲線的撓率為 由以上可見，由方程（ ）所確定的曲線是以 為自然參數(shù)， 為曲率， 為撓率的曲線。 22222( , ( ) , ( ) ( ) )( , ( ) , ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) )( ) ( ) ( , , )()s s sks s s s skssks? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ????2( r , r , r )=k()s?()s?s現(xiàn)在證明唯一性 設(shè) 和 是兩條曲線，它們在對應(yīng)點 有相同的曲率 和撓率 ，經(jīng)過適當(dāng)?shù)膭傮w運動，可以使曲線 和 在對應(yīng)于自然數(shù)為 的點連 同在這點的基本三棱形相重合。 我們設(shè) 和 為分別對應(yīng)于曲線 和 的基本向量。兩組向量函數(shù) 和 都是方程組（ ）的解，并且這些解具有相同的初始條件，根據(jù)微分方程論的解的存在定理，這兩組解是完全相同的。特別是 即 ，積分后得 1(C) 2(C) s()ks ()s?2(C)0s1 1 1,? ? ? 2 2 2,? ? ?2 2 2( ) , ( ) , ( )s s s? ? ?1 1 1( ) , ( ) , ( )s s s? ? ?12??（ s） = （ s） 12dr drds ds?12( ) ( ) ( )r s r s c c?? ， 為 常 向 量1(C) 2(C)1(C)但是 ，于是有 ，所以得到 因此 ，曲線 與 重合，這就是說，曲線 和 在空間只有位置的差別 根據(jù)上述定理，曲線除了在空間中的位置外，由 它的自然方程 唯一確定。 1 0 2 0r( s ） = r ( s ) c=012r ( s ） = r ( s )( ) , ( )k k s s????1(C)2(C)1(C) 2(C)
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