【正文】 G然而，這種求法違背了萬(wàn)有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路。六、天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算物理情形：地球和太陽(yáng)的質(zhì)量分別為m和M ，地球繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道的半長(zhǎng)軸為a ，半短軸為b ，如圖11所示。試求地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，以及軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑。模型分析：求解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式，常常要用到開(kāi)普勒定律（定量）、機(jī)械能守恒（萬(wàn)有引力勢(shì)能）、橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)等等，相對(duì)高考要求有很大的不同。地球軌道的離心率很小（其值≈ ，其中c為半焦距），這是我們常常能將它近似為圓的原因。為了方便說(shuō)明問(wèn)題，在圖11中，我們將離心率夸大了。針對(duì)地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒m+（－）= m+（－）比較A、B兩點(diǎn)，應(yīng)用開(kāi)普勒第二定律，有：vA（a－c）= vB（a + c）結(jié)合橢圓的基本關(guān)系：c = 解以上三式可得：vA = ， vB = 再針對(duì)地球從A到C的過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有m+（－）= m+（－）代入vA值可解得：vC = 為求A、C兩點(diǎn)的曲率半徑，在A、C兩點(diǎn)建自然坐標(biāo)，然后應(yīng)用動(dòng)力學(xué)（法向）方程。在A點(diǎn)，F(xiàn)萬(wàn) = ΣFn = m an ，設(shè)軌跡在A點(diǎn)的曲率半徑為ρA ，即：G= m代入vA值可解得：ρA = 在C點(diǎn)，方程復(fù)雜一些，須將萬(wàn)有引力在τ、n方向分解，如圖12所示。然后，F(xiàn)萬(wàn)n =ΣFn = m an ，即：F萬(wàn)cosθ= m即：G = m代入vC值可解得：ρC = 值得注意的是，如果針對(duì)A、C兩點(diǎn)用開(kāi)普勒第二定律，由于C點(diǎn)處的矢徑r和瞬時(shí)速度vC不垂直，方程不能寫(xiě)作vA（a－c）= vC a 。正確的做法是：將vC分解出垂直于矢徑的分量（分解方式可參看圖12，但分解的平行四邊形未畫(huà)出）vC cosθ，再用vA（a－c）=（vC cosθ）a ，化簡(jiǎn)之后的形式成為vA（a－c）= vC b要理解這個(gè)關(guān)系，有一定的難度，所以建議最好不要對(duì)A、C兩點(diǎn)用開(kāi)普勒第二定律第三講 典型例題解析教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》，知識(shí)出版社，2002年8月第一版。例題選講針對(duì)“教材”第五、第六章的部分例題和習(xí)題。第五部分 動(dòng)量和能量第一講 基本知識(shí)介紹一、沖量和動(dòng)量沖力（F—t圖象特征）→ 沖量。沖量定義、物理意義沖量在F—t圖象中的意義→從定義角度求變力沖量（F對(duì)t的平均作用力）動(dòng)量的定義動(dòng)量矢量性與運(yùn)算二、動(dòng)量定理定理的基本形式與表達(dá)分方向的表達(dá)式：ΣIx =ΔPx ，ΣIy =ΔPy …定理推論：動(dòng)量變化率等于物體所受的合外力。即=ΣF外 三、動(dòng)量守恒定律定律、矢量性條件a、原始條件與等效b、近似條件c、某個(gè)方向上滿足a或b，可在此方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律四、功和能功的定義、標(biāo)量性，功在F—S圖象中的意義功率，定義求法和推論求法能的概念、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律功的求法a、恒力的功：W = FScosα= FSF = FS Sb、變力的功：基本原則——過(guò)程分割與代數(shù)累積；利用F—S圖象（或先尋求F對(duì)S的平均作用力）c、解決功的“疑難雜癥”時(shí)，把握“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一要點(diǎn)五、動(dòng)能、動(dòng)能定理動(dòng)能（平動(dòng)動(dòng)能）動(dòng)能定理a、ΣW的兩種理解b、動(dòng)能定理的廣泛適用性六、機(jī)械能守恒勢(shì)能a、保守力與耗散力（非保守力）→ 勢(shì)能（定義：ΔEp = －W保）b、力學(xué)領(lǐng)域的三種勢(shì)能（重力勢(shì)能、引力勢(shì)能、彈性勢(shì)能）及定量表達(dá)機(jī)械能機(jī)械能守恒定律a、定律內(nèi)容b、條件與拓展條件（注意系統(tǒng)劃分）c、功能原理：系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力與耗散內(nèi)力做功的代數(shù)和。七、碰撞與恢復(fù)系數(shù)碰撞的概念、分類（按碰撞方向分類、按碰撞過(guò)程機(jī)械能損失分類）碰撞的基本特征：a、動(dòng)量守恒；b、位置不超越；c、動(dòng)能不膨脹。三種典型的碰撞a、彈性碰撞：碰撞全程完全沒(méi)有機(jī)械能損失。滿足——m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 m1 + m2 = m1 + m2解以上兩式（注意技巧和“不合題意”解的舍棄）可得：v1 = ， v2 = 對(duì)于結(jié)果的討論：①當(dāng)m1 = m2 時(shí)，v1 = v20 ，v2 = v10 ，稱為“交換速度”；②當(dāng)m1 ＜＜ m2 ，且v20 = 0時(shí)，v1 ≈ －v10 ，v2 ≈ 0 ，小物碰大物，原速率返回；③當(dāng)m1 ＞＞ m2 ，且v20 = 0時(shí)，v1 ≈ v10 ，v2 ≈ 2v10 ，b、非（完全）彈性碰撞：機(jī)械能有損失（機(jī)械能損失的內(nèi)部機(jī)制簡(jiǎn)介），只滿足動(dòng)量守恒定律c、完全非彈性碰撞：機(jī)械能的損失達(dá)到最大限度；外部特征：碰撞后兩物體連為一個(gè)整體，故有v1 = v2 = 恢復(fù)系數(shù)：碰后分離速度（v2 － v1）與碰前接近速度（v10 － v20）的比值，即：e = 。根據(jù)“碰撞的基本特征”，0 ≤ e ≤ 1 。當(dāng)e = 0 ，碰撞為完全非彈性；當(dāng)0 ＜ e ＜ 1 ，碰撞為非彈性；當(dāng)e = 1 ，碰撞為彈性。八、“廣義碰撞”——物體的相互作用當(dāng)物體之間的相互作用時(shí)間不是很短，作用不是很強(qiáng)烈，但系統(tǒng)動(dòng)量仍然守恒時(shí)，碰撞的部分規(guī)律仍然適用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、機(jī)械能可能膨脹）。此時(shí)，碰撞中“不合題意”的解可能已經(jīng)有意義，如彈性碰撞中v1 = v10 ，v2 = v20的解。物體之間有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，機(jī)械能損失的重要定勢(shì)：－ΔE = ΔE內(nèi) = f滑S相 ，其中S相指相對(duì)路程。第二講 重要模型與專題一、動(dòng)量定理還是動(dòng)能定理？物理情形：太空飛船在宇宙飛行時(shí)，和其它天體的萬(wàn)有引力可以忽略，但是，飛船會(huì)定時(shí)遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的平均質(zhì)量為m ，垃圾的運(yùn)行速度可以忽略。飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S ，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。試求飛船引擎所應(yīng)提供的平均推力F 。模型分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對(duì)飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研究對(duì)象，是本題的前提。建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對(duì)模糊地處理垃圾與飛船的作用過(guò)程、淡化“作用時(shí)間”和所考查的“物理過(guò)程時(shí)間”的差異。物理過(guò)程需要人為截取，對(duì)象是太空垃圾。先用動(dòng)量定理推論解題。取一段時(shí)間Δt ，在這段時(shí)間內(nèi)，飛船要穿過(guò)體積ΔV = SvΔt的空間，遭遇nΔV顆太空垃圾，使它們獲得動(dòng)量ΔP ，其動(dòng)量變化率即是飛船應(yīng)給予那部分垃圾的推力，也即飛船引擎的推力。 = = = = = nmSv2如果用動(dòng)能定理，能不能解題呢？同樣針對(duì)上面的物理過(guò)程，由于飛船要前進(jìn)x = vΔt的位移，引擎推力須做功W = x ，它對(duì)應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動(dòng)能增量，而飛船的ΔEk為零，所以：W = ΔMv2即：vΔt = （n m SvΔt）v2得到： = nmSv2兩個(gè)結(jié)果不一致，不可能都是正確的。分析動(dòng)能定理的解題，我們不能發(fā)現(xiàn)，垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機(jī)械能，因此，認(rèn)為“引擎做功就等于垃圾動(dòng)能增加”的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。但在動(dòng)量定理的解題中，由于I = t ，由此推出的 = 必然是飛船對(duì)垃圾的平均推力，再對(duì)飛船用平衡條件，的大小就是引擎推力大小了。這個(gè)解沒(méi)有毛病可挑，是正確的。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖1所示，全長(zhǎng)L、總質(zhì)量為M的柔軟繩子，盤(pán)在一根光滑的直桿上，現(xiàn)用手握住繩子的一端，以恒定的水平速度v將繩子拉直。忽略地面阻力，試求手的拉力F 。解：解題思路和上面完全相同。答：二、動(dòng)量定理的分方向應(yīng)用物理情形：三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B和C ，質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，用拉直且不可伸長(zhǎng)的繩子AB和BC相連，靜止在水平面上，如圖2所示，AB和BC之間的夾角為（π－α）?，F(xiàn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)C施加以沖量I ，方向沿BC ，試求質(zhì)點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的速度。模型分析：首先，注意“開(kāi)始運(yùn)動(dòng)”的理解，它指繩子恰被拉直，有作用力和沖量產(chǎn)生，但是繩子的方位尚未發(fā)生變化。其二，對(duì)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)均可用動(dòng)量定理，但是，B質(zhì)點(diǎn)受沖量不在一條直線上，故最為復(fù)雜，可采用分方向的形式表達(dá)。其三，由于兩段繩子不可伸長(zhǎng)，故三質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以尋求到兩個(gè)約束關(guān)系。下面具體看解題過(guò)程——繩拉直瞬間，AB繩對(duì)A、B兩質(zhì)點(diǎn)的沖量大小相等（方向相反），設(shè)為I1 ，BC繩對(duì)B、C兩質(zhì)點(diǎn)的沖量大小相等（方向相反），設(shè)為I2 ；設(shè)A獲得速度v1（由于A受合沖量只有I1 ,方向沿AB ，故v1的反向沿AB），設(shè)B獲得速度v2（由于B受合沖量為+，矢量和既不沿AB ，也不沿BC方向，可設(shè)v2與AB繩夾角為〈π－β〉，如圖3所示），設(shè)C獲得速度v3（合沖量+沿BC方向，故v3沿BC方向）。對(duì)A用動(dòng)量定理，有：I1 = m1 v1 ①B的動(dòng)量定理是一個(gè)矢量方程：+= m2 ，可化為兩個(gè)分方向的標(biāo)量式，即：I2cosα－I1 = m2 v2cosβ ②I2sinα= m2 v2sinβ ③質(zhì)點(diǎn)C的動(dòng)量定理方程為：I － I2 = m3 v3 ④AB繩不可伸長(zhǎng)，必有v1 = v2cosβ ⑤BC繩不可伸長(zhǎng)，必有v2cos(β－α) = v3 ⑥六個(gè)方程解六個(gè)未知量（I1 、I2 、v1 、v2 、v3 、β）是可能的，但繁復(fù)程度非同一般。解方程要注意條理性，否則易造成混亂。建議采取如下步驟——先用⑤⑥式消掉v2 、v3 ，使六個(gè)一級(jí)式變成四個(gè)二級(jí)式：I1 = m1 v1 ⑴I2cosα－I1 = m2 v1 ⑵I2sinα= m2 v1 tgβ ⑶I － I2 = m3 v1(cosα+ sinαtgβ) ⑷解⑶⑷式消掉β，使四個(gè)二級(jí)式變成三個(gè)三級(jí)式：I1 = m1 v1 ㈠I2cosα－I1 = m2 v1 ㈡I = m3 v1 cosα+ I2 ㈢最后對(duì)㈠㈡㈢式消I1 、I2 ，解v1就方便多了。結(jié)果為：v1 = （學(xué)生活動(dòng)：訓(xùn)練解方程的條理和耐心）思考：v2的方位角β等于多少？解：解“二級(jí)式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I1 ，得I2的表達(dá)式，將I2的表達(dá)式代入⑶就行了。答：β= arc tg（）。三、動(dòng)量守恒中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題物理情形：在光滑的水平地面上，有一輛車，車內(nèi)有一個(gè)人和N個(gè)鉛球，系統(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)車內(nèi)的人以一定的水平速度將鉛球一個(gè)一個(gè)地向車外拋出，車子和人將獲得反沖速度。第一過(guò)程，保持每次相對(duì)地面拋球速率均為v ，直到將球拋完；第二過(guò)程，保持每次相對(duì)車子拋球速率均為v ，直到將球拋完。試問(wèn)：哪一過(guò)程使車子獲得的速度更大？模型分析：動(dòng)量守恒定律必須選取研究對(duì)象之外的第三方（或第四、第五方）為參照物，這意味著，本問(wèn)題不能選車子為參照。一般選地面為參照系，這樣對(duì)“第二過(guò)程”的鉛球動(dòng)量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對(duì)速度與絕對(duì)速度的關(guān)系。至于“第一過(guò)程”，比較簡(jiǎn)單：N次拋球和將N個(gè)球一次性拋出是完全等效的。設(shè)車和人的質(zhì)量為M ，每個(gè)鉛球的質(zhì)量為m 。由于矢量的方向落在一條直線上，可以假定一個(gè)正方向后，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。設(shè)車速方向?yàn)檎业谝贿^(guò)程獲得的速度大小為V1 第二過(guò)程獲得的速度大小為V2 。第一過(guò)程，由于鉛球每次的動(dòng)量都相同，可將多次拋球看成一次拋出。車子、人和N個(gè)球動(dòng)量守恒。0 = Nm(v) + MV1 得：V1 = v ①第二過(guò)程，必須逐次考查鉛球與車子（人）的作用。第一個(gè)球與（N–1）個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u1 。值得注意的是，根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則，鉛球?qū)Φ氐乃俣炔⒉皇牵╲），而是（v + u1）。它們動(dòng)量守恒方程為：0 = m(v + u1) +〔M +(N1)m〕u1得：u1 =第二個(gè)球與（N 2）個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u2 。它們動(dòng)量守恒方程為：〔M+(N1)m〕u1 = m(v + u2) +〔M+(N2)m〕u2 得：u2 = + 第三個(gè)球與（N 2）個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u3 。鉛球?qū)Φ氐乃俣仁牵╲ + u3）。它們動(dòng)量守恒方程為：〔M+(N2)m〕u2 = m(v + u3) +〔M+(N3)m〕u3得：u3 = + + 以此類推（過(guò)程注意：先找uN和uN1關(guān)系，再看uN和v的關(guān)系，不要急于化簡(jiǎn)通分）……，uN的通式已經(jīng)可以找出：V2 = uN = + + + … + 即：V2 = ②我們?cè)賹ⅱ偈礁膶?xiě)成：V1 = ①′不難發(fā)現(xiàn)，①′式和②式都有N項(xiàng)，每項(xiàng)的分子都相同，但①′式中每項(xiàng)的分母都比②式中的分母小，所以有：V1 ＞ V2 。結(jié)論：第一過(guò)程使車子獲得的速度較大。（學(xué)生活動(dòng)）思考：質(zhì)量為M的車上，有n個(gè)質(zhì)量均為m的人，它們靜止在光滑的水平地面上。現(xiàn)在車上的人以相對(duì)車大小恒為v、方向水平向后的初速往車下跳。第