高三下學期數(shù)學(理)試題試題-資料下載頁
2025-04-04 05:01本頁面
【正文】 分）已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點處的切線為，為的導函數(shù)，滿足．（1）求；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值；（3）設(shè)，若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）， ………………………………1分，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則．……2分直線與軸的交點為，且，即，且，解得，． …………………………………………4分則． …………………………………………5分（2）， ………………………………………7分其圖像如圖所示．當時，根據(jù)圖像得：（ⅰ）當時，最大值為；（ⅱ）當時，最大值為；（ⅲ）當時，最大值為． …………………………………10分（3）方法一：，，當時，不等式恒成立等價于且恒成立，由恒成立，得恒成立，當時，， ……………………………………………12分又當時，由恒成立，得，因此，實數(shù)的取值范圍是． …………………………………14分方法二：（數(shù)形結(jié)合法）作出函數(shù)的圖像，其圖像為線段（如圖），的圖像過點時，或，要使不等式對恒成立，必須， …………………………………12分又當函數(shù)有意義時，當時，由恒成立，得，因此，實數(shù)的取值范圍是． …………………………………14分方法三：， 的定義域是，要使恒有意義，必須恒成立，，即或． ………………① …………………12分由得，即對恒成立，令，的對稱軸為，則有或或解得． ………………②綜合①、②，實數(shù)的取值范圍是． …………………………………14分【說明】本題主要考查函數(shù)導數(shù)運算法則、導數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)和分段函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的運用、不等式的求解與證明等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識．21．（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足：，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求證：， ．解：（1），即． …………………………………3分令，則，因此，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．， …………………………………5分． …………………………………6分（2）（方法一）先證明當時，．設(shè)，則，當時，在上是增函數(shù)，則當時，即．………8分因此，當時，， …………9分當時，． …………………10分．…………………………12分．………………………14分（方法二）數(shù)學歸納法證明（1），當時，成立；，又，當時，成立． ……………………………………………8分（2）設(shè)時命題成立，即，當時，要證， 即證，化簡，即證． …………………………9分設(shè)，則，當時，在上是增函數(shù)，則當時，即．因此，不等式成立，即當時成立． …………………11分當時，要證， 即證，化簡，即證． 根據(jù)前面的證明，不等式成立，則時成立．由數(shù)學歸納法可知，當時，不等式， 成立．……………14分【說明】考查了數(shù)列的遞推公式的處理、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)學歸納法等知識，考查學生的構(gòu)造數(shù)列和函數(shù)解決問題的意識，考查了學生變形的能力，化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識．
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