第十九屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽本科甲乙組試題與解答-資料下載頁
2025-04-04 04:48本頁面
【正文】 所以, 所求方向?qū)?shù)為 . 7. 求平面和柱面x2+y2=1的交線上與xOy平面距離最短的點(diǎn). 解 設(shè)M(x, y, z)為平面和柱面的交線上的一點(diǎn), 則M到xOy平面的距離為d(x, y, z)=|z|. 問題在于求函數(shù)f(x, y, z)=|z|2=z2在約束條件和x2+y2=1下的最不值. 作輔助函數(shù): . 令 , 解方程組得 , , . 因?yàn)榭赡艿臉O值點(diǎn)只有這一個(gè), 所以這個(gè)點(diǎn)就是所求之點(diǎn). 8. 在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面, 使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小, 求這切平面的切點(diǎn), 并求此最小體積. 解 令, 則 , , . 橢球面上點(diǎn)M(x, y, z)處的切平面方程為 , 即. 切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為 , , . 切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的四面體的體積為 . 現(xiàn)將問題化為求函數(shù)在條件下的最小值的問題, 或求函數(shù)f(x, y, z)=xyz在下的最大值的問題. 作輔助函數(shù). 令 , 解方程組得 , , . 于是, 所求切點(diǎn)為, 此時(shí)最小體積為.8
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