【正文】 b點(diǎn)處的切應(yīng)力為零。據(jù)此，(h)所示，(i)所示。由此圖可見，b點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力分別為。所在的截面就是x平面，亦即梁的橫截面C?！尽?(a)所示。試用應(yīng)力圓法求：(1)夾角的值；(2)該點(diǎn)處的主應(yīng)力和主平面方位。解：(1) 作應(yīng)力圓。選比例尺，建坐標(biāo)系。由截面上的應(yīng)力繪點(diǎn)，由截面上的應(yīng)力繪點(diǎn)。連接點(diǎn)和，作的垂直平分線交軸于，以點(diǎn)為圓心，為半徑，作應(yīng)力圓交軸于、兩點(diǎn)((b)所示)。(2) 求夾角的值。(b)中量取，則 (a) (b) (3) 求主應(yīng)力和主平面方位。量取，其方向由斜截面法向順時(shí)針轉(zhuǎn)；，其方向與方向垂直；。【】 (a)所示。試作應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。 解：該單元體有一個(gè)已知的主應(yīng)力。因此，與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力無關(guān)，于是，可依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力，畫出應(yīng)力圓(如 (b)所示)。由應(yīng)力圓上可得兩個(gè)主應(yīng)力值為46MPa和26MPa。將該單元體的三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小順序排列為 ，依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值，便可作出三個(gè)應(yīng)力圓((b)所示)。在其中最大的應(yīng)力圓上，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)(該圓的半徑)即為該單元體的最大切應(yīng)力，其值為 且，據(jù)此便可確定主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切應(yīng)力所在截面與平行，與和所在的主平面各成夾角，(c)所示?！尽?已知構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)變值為。構(gòu)件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比=。試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力數(shù)值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變的數(shù)值和方向。解：由于主應(yīng)力與主應(yīng)變相對(duì)應(yīng)，故根據(jù)題意可知該點(diǎn)處，而處于平面應(yīng)力狀態(tài)。因此，由平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律得 ，聯(lián)立上列兩式，即可解得主應(yīng)變的數(shù)值可由(712a)求得由此可見，主應(yīng)變是縮短，其方向必與及垂直，即沿構(gòu)件表面的法線方向?！尽?邊長(zhǎng)a=，無間隙地放入體積較大、變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中。(a)所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=。當(dāng)受到F=300kN的均勻壓力作用時(shí)，試求銅塊的主應(yīng)力、體應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。解：銅塊的橫截面上的壓應(yīng)力為 銅塊受到的軸向壓縮將產(chǎn)生膨脹，但受到剛性凹槽壁的阻礙，使銅塊在x和z方向的線應(yīng)變等于零。于是，在銅塊與槽壁接觸面間將產(chǎn)生均勻的壓應(yīng)力和，(b)所示。按照廣義胡克定律公式(78a)可得 (a) (b) 聯(lián)立求解(a)、(b)兩式，可得按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，得銅塊的主應(yīng)力為，將以上數(shù)據(jù)帶入計(jì)算體積應(yīng)變公式()，可得銅塊的體積應(yīng)變?yōu)閷⒂嘘P(guān)的主應(yīng)力值代入式(77)，可得【】 ，若許用應(yīng)力，試校核其強(qiáng)度。 解：，和截面的應(yīng)力為 ，代入式(74)，得 即主應(yīng)力為 ，上式表明，主應(yīng)力雖為壓應(yīng)力，但其絕對(duì)值小于主應(yīng)力，所以，宜采用最大拉應(yīng)力理論，即利用式(718)校核強(qiáng)度，顯然 說明構(gòu)件強(qiáng)度無問題?！尽?試分別根據(jù)第三與第四強(qiáng)度理論，確定塑性材料在純剪切時(shí)的許用 應(yīng)力。解：純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力為。于是，將主應(yīng)力值代入 式(720)與式(721)，分別得由此得切應(yīng)力的最大允許值，即許用切應(yīng)力分別為因此，塑性材料在純剪切時(shí)的許用應(yīng)力通常取為～?！尽?(a)所示。已知材料Q235鋼的許用應(yīng)力為和。試按強(qiáng)度條件選擇工字鋼的號(hào)碼。 工字梁承受荷載解：首先確定鋼梁的危險(xiǎn)截面，在算得支反力后，作梁的剪力圖和彎矩圖如　　　　(b)、(c)所示。由圖可見，梁的C、D兩截面上的彎矩和剪力均為最大值，所以這兩個(gè)截面為危險(xiǎn)截面?，F(xiàn)取截面C計(jì)算，其剪力和彎矩分別為和。先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面。最大正應(yīng)力發(fā)生在截面C的上、下邊緣各點(diǎn)處，其應(yīng)力狀態(tài)為單軸應(yīng)力狀態(tài)，由強(qiáng)度條件求出所需的截面系數(shù)為 如選用28a號(hào)工字鋼，則其截面的。顯然，這一截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件的要求。再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。對(duì)于28a號(hào)工字鋼的截面，由型鋼表查得 危險(xiǎn)截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，且為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，其最大切應(yīng)力為 由此可見，選用28a號(hào)工字鋼滿足切應(yīng)力的強(qiáng)度條件。以上考慮了危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。但是，對(duì)于工字形截面，在腹板與翼緣交界處，正應(yīng)力和切應(yīng)力都相當(dāng)大，且為平面應(yīng)力狀態(tài)。因此，須對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度校核。為此，截取腹板與下翼緣交界的a點(diǎn)處的單元體((e)所示)。根據(jù)28a號(hào)工字鋼截面簡(jiǎn)化后的尺寸((d)所示)和上面查得的，求得橫截面上a點(diǎn)處的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為 上面第二式中的是橫截面的下翼緣面積對(duì)中性軸的靜矩，其值為 (e)所示的應(yīng)力狀態(tài)下，該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為 (1) 由于a點(diǎn)是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，材料是Q235鋼，按形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)進(jìn)行強(qiáng)度校核。以上述主應(yīng)力代入式(721)后，得強(qiáng)度條件為 將上述a點(diǎn)處的值代入上式得%，所以應(yīng)另選較大的工字鋼。若選用28b號(hào)工字鋼。再按上述方法，算得a點(diǎn)處的，%，沒有超過5%，故選用28b號(hào)工 字鋼。若按照最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)對(duì)a點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度校核，則可將上述三個(gè)主應(yīng)力的表達(dá)式(a)代入式(720)，可得第三強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力為 第八章 組合變形【】 (a)所示。若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼，試選擇工字鋼型號(hào)。解：(1) 先求出CD桿的長(zhǎng)度為(2) 以AB為研究對(duì)象，(b)所示，由平衡方程，得 把F分解為沿AB桿軸線的分量和垂直于AB桿軸線的分量，可見AB桿在AC段內(nèi)產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。(c)所示。從圖中看出，在C點(diǎn)左側(cè)的截面上彎矩為最大值，而軸力與其他截面相同，故為危險(xiǎn)截面。開始試算時(shí)，可以先不考慮軸力的影響，只根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件選取工字鋼。這時(shí)查型鋼表，選取16號(hào)工字鋼。選定工字鋼后，同時(shí)考慮軸力及彎矩M的影響，再進(jìn)行強(qiáng)度校核。在危險(xiǎn)截面C的上邊緣各點(diǎn)有最大壓應(yīng)力，且為 結(jié)果表明，最大壓應(yīng)力與許用應(yīng)力接近相等，故無需重新選擇截面的型號(hào)?！尽?機(jī)軸上的兩個(gè)齒輪((a)所示)，受到切線方向的力，作用，軸承及處均為鉸支座，軸的許用應(yīng)力，求軸所需的直徑。解：(1) 外力分析。把及向機(jī)軸軸心簡(jiǎn)化成為豎向力、水平力及力偶矩兩個(gè)力使軸發(fā)生彎曲變形，兩個(gè)力偶矩使軸在段內(nèi)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。(2) 內(nèi)力分析。段內(nèi)的扭矩為 軸在豎向平面內(nèi)因作用而彎曲，(b)所示，引起、處的彎矩分別為 ，軸在水平面內(nèi)因作用而彎曲，在、處的彎矩分別為 ， 、兩個(gè)截面上的合成彎矩為 軸內(nèi)每一截面的彎矩都由兩個(gè)彎矩分量合成，且合成彎矩的作用平面各不相同，但因?yàn)閳A軸的任一直徑都是形心主軸，抗彎截面系數(shù)都相同，所以可將各截面的合成彎矩畫在同一張圖內(nèi)((c)所示)。(3) 強(qiáng)度計(jì)算按第四強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件 解之得 [習(xí)題815] 曲拐受力如圖所示，其圓桿部分的直徑。試畫出表示A點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并求其主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。解：A點(diǎn)所在的截面經(jīng)受彎扭組合變形。 A點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的單元體如圖所示。坐標(biāo)面應(yīng)力為：X（,）,Y(0,0),Z(0,0) 故，， [習(xí)題816] 鐵道路標(biāo)圓信號(hào)板，裝在外徑的空心圓柱上，所受的最大風(fēng)載。試按第三強(qiáng)度理論選定空心柱的厚度。解：忽略風(fēng)載對(duì)空心柱的分布?jí)毫?，只?jì)風(fēng)載對(duì)信號(hào)板的壓力，則信號(hào)板受風(fēng)力空心柱固定端處為危險(xiǎn)截面，其彎矩： 扭矩： = mm第九章 壓桿穩(wěn)定第九章 壓桿穩(wěn)定（6學(xué)時(shí)）【】 ，CD為圓截面直桿，其直徑為d=20mm，二者材料均為Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知=25kN，=，=，=235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)=，穩(wěn)定安全因數(shù)=。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。 解：在給定的結(jié)構(gòu)中共有兩個(gè)構(gòu)件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強(qiáng)度問題；桿CD，承受壓縮荷載，屬穩(wěn)定問題?，F(xiàn)分別校核如下。(1) 大梁AB的強(qiáng)度校核。大梁AB在截面C處的彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的彎矩和軸力分別為 由型鋼表查得14號(hào)普通熱軋工字鋼的 由此得到 Q235鋼的許用應(yīng)力為 略大于，但，工程上仍認(rèn)為是安全的。(2) 校核壓桿CD的穩(wěn)定性。由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力為 因?yàn)槭菆A截面桿，故慣性半徑為 又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，所以 這表明，壓桿CD為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用式(97)計(jì)算其臨界應(yīng)力，有 于是，壓桿的工作安全因數(shù)為 這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。上述兩項(xiàng)計(jì)算結(jié)果表明，整個(gè)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都是安全的。