【正文】 費(fèi)原有的商品數(shù)量，消費(fèi)者必須擁有的收入為：因此，斯拉茨基補(bǔ)償為。11．消費(fèi)者的效用函數(shù)為，收入為120元，商品的價(jià)格為10元，商品的價(jià)格為8元。試計(jì)算：（1）消費(fèi)者均衡是多少？（2）當(dāng)商品價(jià)格降為6元時(shí)，價(jià)格變化的斯拉茨基替代效應(yīng)是多少？相應(yīng)的收入效應(yīng)是多少？（3）當(dāng)商品價(jià)格降為6元時(shí)，價(jià)格變化的?？怂固娲?yīng)是多少？解：（1）效用函數(shù)是柯布—道格拉斯型，直接利用第三題的結(jié)論，可知兩商品的需求函數(shù)分別為：把，，代入，可以求出消費(fèi)者均衡點(diǎn)為。（2）當(dāng)商品價(jià)格下降為6元，消費(fèi)者過點(diǎn)的預(yù)算線為：預(yù)算線對(duì)應(yīng)的收入水平為696/7。再次利用上述需求公式可以得到當(dāng)消費(fèi)者面臨價(jià)格向量（6，8），收入為696/7時(shí)的均衡點(diǎn)：因此，價(jià)格下降的斯拉茨基替代效應(yīng)為。因?yàn)閮r(jià)格變化后，消費(fèi)者均衡點(diǎn)為：相應(yīng)的收入效應(yīng)為。（3）消費(fèi)者過點(diǎn)的無差異曲線為：。由，代入無差異曲線有：所以，商品價(jià)格從10元下降為6元的希克斯替代效應(yīng)為。12．對(duì)于函數(shù)，其中，與是兩種商品，為收入，試分析該函數(shù)能否成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)，為什么？答：如果該函數(shù)是一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)，由可知，是正常商品，它的需求量在任何情況下隨收入上升而上升。又，當(dāng)時(shí)，因此在時(shí)，的需求量隨價(jià)格上升而上升。因此，當(dāng)時(shí)，該商品的替代效應(yīng)為正。而任何商品價(jià)格變化對(duì)該商品需求量所起的替代效應(yīng)為非正，所以，該函數(shù)不是一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)。13．政府考慮以兩種方式補(bǔ)貼低收入家庭。一種是實(shí)物性補(bǔ)貼（如食品補(bǔ)貼），另一種是現(xiàn)金補(bǔ)貼。請(qǐng)畫圖回答以下問題：（1）請(qǐng)表明如果兩種方式耗費(fèi)相同的財(cái)政收入，被補(bǔ)貼人一般喜歡第二種方式的補(bǔ)貼。（2）假設(shè)兩種方式都耗費(fèi)相同的財(cái)政收入，請(qǐng)解釋在什么情況下，被補(bǔ)貼的人會(huì)感到這兩種方式無差異。解：（1）發(fā)放現(xiàn)金能夠使得消費(fèi)者根據(jù)自己的偏好任意選擇自己最需要的商品來消費(fèi)，這時(shí)的效用是最大的。如果發(fā)放實(shí)物的話，這些指定分配的物品可能并不是消費(fèi)者最需要的，這時(shí)效用難以達(dá)到最大程度的滿足。圖37 兩種補(bǔ)貼方式對(duì)消費(fèi)者效用的影響如圖37所示，在二維平面坐標(biāo)圖中，以縱軸（軸）表示食品，橫軸（軸）表示消費(fèi)者可任意選購(gòu)的其他商品。這樣，直線就是在所有商品價(jià)格一定時(shí)發(fā)放現(xiàn)金所形成的預(yù)算約束線，此時(shí)消費(fèi)者的無差異曲線為。而折線則是發(fā)放實(shí)物所形成的預(yù)算約束線，在消費(fèi)者偏好關(guān)系一致的前提下，無差異曲線為?？梢钥闯?。這就是說，發(fā)放現(xiàn)金能夠給消費(fèi)者帶來更大的滿足程度。（2）消費(fèi)者之所以存在以上偏好上的差異，原因就在于兩種補(bǔ)助方式形成的預(yù)算約束是不一樣的，發(fā)放實(shí)物時(shí)消費(fèi)者無法根據(jù)自己的個(gè)人偏好自由選擇想要購(gòu)買的物品以使自己的效用最大化，如圖38所示。只有當(dāng)消費(fèi)者對(duì)食品的偏好非常大的時(shí)候（無差異曲線移動(dòng)至）。無論是發(fā)放實(shí)物還是發(fā)放現(xiàn)金，消費(fèi)者都選擇消費(fèi)大量的食品以使自己的效用最大化。這時(shí)無論哪一種補(bǔ)貼方式都不會(huì)改變無差異曲線與預(yù)算線的切點(diǎn)，均衡消費(fèi)數(shù)量不發(fā)生變化，兩種補(bǔ)貼方式對(duì)消費(fèi)者來說是無差異的。圖38 補(bǔ)貼方式無差異14．一個(gè)人在給定的收入（）的情況下消費(fèi)產(chǎn)品和，假設(shè)價(jià)格和，且固定不變。他的偏好由CES效用函數(shù)表示：（但）。（1）推導(dǎo)馬歇爾需求函數(shù)。（2）求出間接效用函數(shù)。解：（1）個(gè)人最優(yōu)決策為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階條件為：由此推出：，解得： ①將此結(jié)果代入預(yù)算約束，得：化簡(jiǎn)求，得：代入①式，從而有：（2）根據(jù)定義，間接效用函數(shù)：將馬歇爾需求函數(shù)代入，化簡(jiǎn)得：。15．某個(gè)消費(fèi)者具有效用函數(shù)。求消費(fèi)者對(duì)物品1的需求函數(shù)，并求消費(fèi)者的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)。解：需求函數(shù)為：支出函數(shù)為：間接效用函數(shù)為：。16．一個(gè)人的效用函數(shù)為，和是兩種物品的消費(fèi)量，和為外生變量，且。物品價(jià)格和給定，收入為。求：（1）馬歇爾需求函數(shù)。（2）希克斯需求函數(shù)。解：（1）由消費(fèi)者的效用最大化問題為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：效用最大化的一階條件為：有上述三式解得：。（2）消費(fèi)者的支出最小化問題：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：根據(jù)支出最小化的一階條件解得：。將其代入，可得?？怂剐枨笄€：。17．消費(fèi)者1的支出函數(shù)為，消費(fèi)者2的效用函數(shù)為。求：（1）每個(gè)消費(fèi)者關(guān)于每種物品的馬歇爾需求函數(shù)，和分別表示消費(fèi)者2的收入。（2）參數(shù)等于多少將會(huì)使得總需求函數(shù)與收入的分配無關(guān)。解：（1）由，可得間接效用函數(shù)為：根據(jù)羅伊恒等式可求得消費(fèi)者1的馬歇爾需求函數(shù)為：消費(fèi)者2的馬歇爾需求函數(shù)通過求解直接效用函數(shù)的最大化問題得到：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階條件為：解得：，此即消費(fèi)者2的馬歇爾需求函數(shù)。（2）物品1的總需求函數(shù)為：若要總需求與收入分配無關(guān)，則需使、前的系數(shù)相等，即，即。同樣，物品2的總需求函數(shù)為：要使總需求與收入分配無關(guān)，則有，可得。故當(dāng)時(shí)，，從而總需求只與總收入有關(guān)，與收入分配無關(guān)。18．假定某消費(fèi)者的效用函數(shù)為，其中為大于零的常數(shù)，的價(jià)格分別為，消費(fèi)者的收入為。（1）請(qǐng)畫出該消費(fèi)者的無差異曲線，并說明相應(yīng)商品的邊際替代率。（2）試求商品的需求函數(shù)。（3）請(qǐng)說明商品的收入效應(yīng)、替代效應(yīng)和總效應(yīng)。（4）請(qǐng)畫出相應(yīng)的收入—消費(fèi)線（ICC）和商品的恩格爾曲線（EC）。解：（1）由效用函數(shù)可知，為了達(dá)到效用最大化，該消費(fèi)者必須始終按照的比例來消費(fèi)兩種商品?？梢姛o差異曲線為固定替代彈性的，即對(duì)的替代比率恒為，見圖39。圖39 無差異曲線（2）該消費(fèi)者達(dá)到效用最大化要求等式成立，預(yù)算約束方程為：。聯(lián)立這兩個(gè)等式，可得商品和的需求函數(shù)分別為：（3）由于消費(fèi)者始終以一個(gè)固定的比例以來消費(fèi)和，所以這兩種商品的替代效應(yīng)為0。因此，總效應(yīng)＝收入效應(yīng)＝。（4）收入—消費(fèi)線描述了在價(jià)格給定的前提下，由于收入的變化而導(dǎo)致的消費(fèi)者均衡點(diǎn)的變化軌跡，見圖310。圖310 收入消費(fèi)線恩格爾曲線描述了收入變動(dòng)與需求量變動(dòng)之間的關(guān)系。以商品為例，由于，可見收入與之間成一個(gè)固定的正的比例關(guān)系：，參見圖311。圖311 恩格爾曲線19．某君的愛好是葡萄酒，當(dāng)其他商品價(jià)格固定不變時(shí)，他對(duì)高質(zhì)量的紅葡萄酒的需求函數(shù)為，收入元，價(jià)格元，現(xiàn)在價(jià)格上升到40元，問價(jià)格上漲的價(jià)格效應(yīng)是多少瓶酒？其中替代效應(yīng)又是多少？收入效應(yīng)是多少瓶？解：當(dāng)收入元，價(jià)格元時(shí)，（瓶）。價(jià)格上升到40元以后，為了使他仍然能夠買到同價(jià)格變化前一樣數(shù)量的紅葡萄酒和其他商品，需要的收入為：（元）。當(dāng)元，元時(shí)，該消費(fèi)者事實(shí)上不會(huì)購(gòu)買90瓶紅葡萄酒，他會(huì)減少紅葡萄酒的購(gòu)買量，而用別的酒來代替。這時(shí)紅葡萄酒的購(gòu)買量為：（瓶）。由于消費(fèi)者的收入維持在元的水平不變，而酒的價(jià)格漲到元時(shí)，等于他的實(shí)際收入還是下降了，因此不僅替代效應(yīng)會(huì)使他減少紅葡萄酒的購(gòu)買量，收入效應(yīng)也會(huì)使他減少紅葡萄酒的購(gòu)買量。事實(shí)上，他對(duì)紅葡萄酒的購(gòu)買量只有（瓶）。可見，價(jià)格效應(yīng)使他對(duì)紅葡萄酒的需求減少20（）瓶，其中，替代效應(yīng)是減少2（9088）瓶，收入效應(yīng)是減少18（）瓶。20．消費(fèi)者的效用函數(shù)為：。求：（1）兩種物品，的馬歇爾需求函數(shù)。（2）?？怂剐枨蠛瘮?shù)。（3）支出函數(shù)。（4）間接效用函數(shù)。解：（1）馬歇爾需求函數(shù)是個(gè)體的效用最大化選擇。設(shè)兩種商品的價(jià)格分別為、消費(fèi)者的收入為。因?yàn)樵撟顑?yōu)化問題可以寫成如下形式：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：效用最大化的一階條件為：有上述三式解得：。此即為物品，的馬歇爾需求函數(shù)。（2）?？怂剐枨笫侵С鲎钚』瘑栴}。對(duì)于給定的效用水平，該最優(yōu)化問題可以表述為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：效用最大化的一階條件為：有上述三式可得：。此即為兩種商品的希克斯需求函數(shù)。（3）由希克斯需求函數(shù)可得支出函數(shù)為：（4）將馬歇爾需求函數(shù)代入直接效用函數(shù)就可以得到間接效用函數(shù)：21．一個(gè)消費(fèi)者具有支出函數(shù)。找出一個(gè)直接效用函數(shù)，它合理化了這個(gè)人的需求行為。解：假設(shè)消費(fèi)者的收入為。由支出函數(shù)可以推得：根據(jù)羅伊恒等式有： ①同理可得： ②從①式和②式可以得到：再將代回①式有：將代回②式有：聯(lián)合和便可以得到：則：。將價(jià)格指數(shù)代入間接效用函數(shù)當(dāng)中便可以得到直接效用函數(shù)：22．消費(fèi)者效用函數(shù)，。當(dāng)?shù)膬r(jià)格變?yōu)?時(shí)，求的?？怂固娲?yīng)、斯勒茨基替代效用及收入效用。解：令，。當(dāng)價(jià)格為，時(shí)，消費(fèi)者的問題為：用拉格朗日法求得：，此時(shí)的效用為：。當(dāng)?shù)膬r(jià)格上升至2時(shí)，為保持原效用的最小支出為：解得：。價(jià)格為，時(shí)，消費(fèi)者最大化其效用時(shí)有：解得：。當(dāng)?shù)膬r(jià)格上升至2時(shí)，為保持原消費(fèi)束（，），消費(fèi)者的收入必須增加為。當(dāng)消費(fèi)者的收入為100，時(shí)，問題為：解得：。故消費(fèi)者對(duì)商品的希克斯替代效應(yīng)為：；消費(fèi)者對(duì)商品的希克斯收入效應(yīng)為：；消費(fèi)者對(duì)商品的斯拉茨基替代效應(yīng)為：；消費(fèi)者對(duì)商品的斯拉茨基收入效應(yīng)為：。23．設(shè)間接效用函數(shù)為，馬歇爾需求函數(shù)是，為收入，為產(chǎn)品空間第個(gè)商品的價(jià)格。不用包絡(luò)定理證明羅伊恒等式（Roy’s indentity）。證明：根據(jù)定義有：。對(duì)求導(dǎo)可得：由一階條件可知：，此處。結(jié)合起來，有：另外，個(gè)人最優(yōu)選擇也必須滿足預(yù)算約束。該式兩邊對(duì)求導(dǎo)：所以有羅伊恒等式：24．設(shè)某產(chǎn)品的反需求函數(shù)為，其中與均嚴(yán)格為正數(shù)，現(xiàn)設(shè)政府決定征收稅率為的銷售稅，于是產(chǎn)品價(jià)格提高為，證明消費(fèi)者剩余的損失大于政府征稅所得的收益。解：設(shè)價(jià)格為時(shí)，消費(fèi)者的需求量為，由，得：。又設(shè)價(jià)格為時(shí)，消費(fèi)者的需求量為，由得：。則消費(fèi)者剩余損失為：政府征稅而提高的收益為：。消費(fèi)者剩余虧損－政府征稅而提高的收益為：由于、所以。因此，消費(fèi)者剩余損失總是超過政府征稅而提高的收益。25．假設(shè)有種商品，商品在總支出中的比重為，即，其中，表示第種商品的價(jià)格，表示該商品的購(gòu)買量，為消費(fèi)者的收入水平。為需求的收入彈性，即。證明Engel加總：。證明：對(duì)于預(yù)算約束條件，在等式兩邊同時(shí)取微分，得到：由于價(jià)格是恒定的量，所以。這樣就可以得到：，亦即。分子分母同時(shí)乘以，可以得到如下形式：，根據(jù)題目的定義得證。以上內(nèi)容為跨考網(wǎng)整理的經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果同學(xué)還想獲得更多經(jīng)濟(jì)學(xué)課后習(xí)題資料，可以關(guān)注微信公眾平臺(tái)索要經(jīng)濟(jì)學(xué)考研資料,你想要的資料都在這兒→jjxkyzs。 想了解經(jīng)濟(jì)學(xué)考研高分的秘密嗎？請(qǐng)點(diǎn)擊:經(jīng)濟(jì)學(xué)考研解題技巧跨考經(jīng)濟(jì)學(xué)考研輔導(dǎo)提醒您: 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