代數(shù)及通信部分習題解-資料下載頁
2025-03-24 06:39本頁面
【正文】 有，再由條件p=2(mod3)知p=2+3k或(p1)+3(k)=1,故（3，p1）=1,由得,得，即a=b(modp)。4．設(shè)p為奇素數(shù)，中元素的階為3，求元素的階。解：由條件的非零元均是可逆元，且 ，或 （1）而的階為3，故即，（1）兩邊乘以的逆元得，從而所以，故的階為6。（P62）1. 設(shè)是群的同態(tài)，和分別為G和G′的幺元素，則。證明：（1）（是G的幺元素）（是群的同態(tài)）兩邊右乘得即或；（2）因為（是群的同態(tài)）（由上所證），同理可證，所以2. 決定加法群Z，Q和Zm的自同構(gòu)群。解：（1）求Aut(Z).設(shè)，任意,若m是正整數(shù)，由于f保持加法運算，故有，若m是負整數(shù)有，當m=0時由1題知，即任意的有，此說明Z的自同構(gòu)完全由確定。設(shè)有整數(shù)k,使得，即有，而是整數(shù)，故上式成立當且僅當=1或=1。由此得出Aut(Z)={1z，1z}，其中1z是Z到自身的恒等映射，1z是相反數(shù)的映射，它們顯然是自同構(gòu)。（2）求Aut(Q).設(shè),對于有理數(shù)，由于f保持加法運算，易知得，從而此說明，f完全由確定，令為任意的非零有理數(shù)，易知是Q到自身的同構(gòu)映射。由此得（3）求Aut(Zm).設(shè),有，故f完全由確定。令有，設(shè)則有，易驗證當（r,m）=1時有是Zm到自身的同構(gòu)映射。所以有（）（P65）1． 群G的任意多個子群的交集是G的子群。證明：只需證明兩個子群的情況即可。設(shè)，顯然即是群G的一個非空子集。對于任意的而G1，G2是群G的子群，故，從而有，所以是群G的子群。2． 每個群不能是它的兩個真子群的并集。證明：用反證法。假設(shè)群G是它的兩個真子群G1，G2的并，即，從而一定有兩個元素，滿足：，令，顯然，從而有或不妨設(shè)，從而，這與矛盾。故每個群不能是它的兩個真子群的并集。3． 有限群G中每個元素均是有限階的，并且元素的階都是|G|的因子。（例如：乘法群是階有限群，它的每個元素的階都是的因子。）證明：設(shè)g是G的任意元素，若g是無限階的，則1，g,g 2,…,gk,…互不相同且是G的元素，這與G是有限群矛盾，故G中每個元素均是有限階的。設(shè)g的階是n,則是G的子群，且階數(shù)為n,由拉格朗日定理知n||G|,即G的每個元素的階都是|G|的因子。11．以S3表示{1，2，3}的全部置換組成的群。求S3的全部子群。哪些是S3的正規(guī)子群？解：經(jīng)計算如下表再注意到6階子群的階只能是1，2，3，6由些可見S3的全部子群有{1}，S3。由10題的結(jié)論一定是正規(guī)子群。，其余同可驗證，故，均不是S3的正規(guī)子群。(P68)。如果g1和g2 分別是G1和G2中的n階和m階元素，則（g1,g2）是G中[n,m]階元素。證明：設(shè)有正整數(shù)k使得，即，所以有，又因為g1和g2 分別是G1和G2中的n階和m階元素，所以有n|k,m|k,即k是n,m的公倍數(shù)，由階的定義知（g1,g2）是G中[n,m]階元素。2．設(shè)G1和G2為群G的子群，并且對均有，則（1）映射是群同態(tài)。（2）f為群的單同態(tài)當且僅當。f為群的同態(tài)當且僅當，即G中每個元素均可表成。證明：（1）顯然是的映射。設(shè)，則所以映射是群同態(tài)。（2）若f為群的單同態(tài)，設(shè)，則有，而是單射，所以有從而有，故。若，設(shè)，由此得所以f為群的單同態(tài)。（P82）（1） 若a|b,b|c,則a|c.（2） 若a|b,a|c,則對任意x,y∈R,a|bx+cy.證明：（1）由條件及整除的定義知b=ad,c=bk,其中d,k∈R,從而c=(ad)k=a(dk),這里dk∈R,故a|c.(2) 由條件及整除的定義知b=ad,c=ak,其中d,k∈R,從而bx+cy=adx+aky=a(dx+ky), 這里dx+ky∈R,故a| b 整理分享
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