代數(shù)及通信部分習題解(已修改)
2025-04-05 06:39 本頁面
【正文】 完美WORD格式 代數(shù)與通信部分習題解（P6）１. 若n為奇數(shù)，證明8|n21。證明：n為奇數(shù)，可設n=2m+1,其中m為整數(shù)。于是n21=(2m+1)21=(4m2+4m+1)1=4m(m+1),注意到2|m(m+1)，所以8|4m(m+1),即8|n21。２. 若n為奇數(shù)并且n≥5,則。證明：n為奇數(shù)并且n≥5可設n=2m+1,其中m為整數(shù)且m1,于是＝注意到，即為整數(shù)。所以。注：當n=3時，整除變?yōu)橄嗟?，結(jié)論也成立。３. 若m和n是正整數(shù)，,證明不整除。反證法：假設，由帶余除法可設n=qm+r其中，于是有由假設，故，而為正整數(shù)，所以，故，即，或，所以，從而m1=1,r1=0,即m=2,這與矛盾，所以不整除。討論：根據(jù)以上證明可知，或?qū)懗?其中m為奇數(shù)。4．設為實數(shù)（m≥2）,證明證明：（1）首先證明：因為其中，所以從而有（2）再證：其中則若１）則有若２）則有 若３）若２）則有總之不論何種情況均有注：本題可推廣到：５．設n為大于１的整數(shù)，證明（１）不是整數(shù)。（２）不是整數(shù)。證明：（１）設某個正整數(shù)使，則的各項必只有一項分母為，其余各項的分母至多可被整除，因此在上述和式中將除去的其余各項相加必得如下形式的數(shù)其中q和k是正整數(shù)，從而，其分母是偶數(shù)，分子是奇數(shù)，因此不可能等于整數(shù)。（２）設某個正整數(shù)使，則的各項必只有一項分母為，其余各項的分母至多可被整除，因此在上述和式中將除去的其余各項相加必得如下形式的數(shù)或其中q和k是正整數(shù)，從而，或其分母是3的倍數(shù)，分子不是３的倍數(shù)，因此不可能等于整數(shù)。（１）形如4m+3(m∈Z)的素數(shù)有無限多個。（２）形如6m+5(m∈Z) 的素數(shù)有無限多個。證明：（１）分兩步來證明。首先證明形如4m+3的正整數(shù)必定含有形如4m+3的素因數(shù)。事實上，一切奇數(shù)素數(shù)都能寫成4k+1或4k+3的形式，這里k是整數(shù)。而由于所以把形如4k+1的數(shù)相乘的乘積仍為4k+1形式的數(shù)。因此，把4n+3分解成素因數(shù)的乘積時，這些素因數(shù)不可能都是4m+1的形式的素數(shù)，一定有4m+3形式的素數(shù)。其次，設N任取之正整數(shù)，并設為形如4m+3的不超過Ｎ之所有素數(shù)，令顯然，每個都不是q的素數(shù)，否則將導致，這是不可能的。如果q本身是素數(shù)，由于＝，這表示q也是形如4m+3的數(shù)，顯然，從而q+3的素數(shù)q.如果q本身不是素數(shù)，由第一步知，q一定含有形如4m+3之素因數(shù)p,同樣可證明，這表示存在大于Ｎ之形如4m+3的素數(shù)p.由于Ｎ是任取之正整數(shù)，這樣就證明了形如４n+3的素數(shù)有無窮多個。（２）首先證明形如6m+5的正整數(shù)必定含有形如6m+5的素因數(shù)。事實上，一切大于3的素數(shù)都能寫成６k+1或６k+５的形式，這里k是整數(shù)。而由于所以把形如６k+1的數(shù)相乘的乘積仍為６k+1形式的數(shù)。因此，把６n+５分解成素因數(shù)的乘積時，一定有６m+５形式的素因數(shù)。其次，設N任取之正整數(shù)，并設為形如６m+５的不超過Ｎ之所有素數(shù)，令顯然，每個都不是q的素數(shù)，否則將導致，這是不可能的。如果q本身是素數(shù)，由于，這表示q也是形如６m+５的數(shù)，顯然，從而q+５的素數(shù)q.如果q本身不是素數(shù)，由第一步知，q一定含有形如６m+５之素因數(shù)p,同樣可證明，這表示存在大于Ｎ之形如６m+５的素數(shù)p.由于Ｎ是任取之正整數(shù)，這樣就證明了形如６n+５的素數(shù)有無窮多個。如果n沒有小于等于的素因子，則n為素數(shù)。證明：反證法。若n不是素數(shù)，設n=ab,1abn,則，或，這與沒有小于等于的素因子的條件矛盾，故n必為素數(shù)。（P11）１. 對每個正整數(shù)n,證明是既約分數(shù)
環(huán)評公示相關推薦
鄂ICP備17016276號-1