【導(dǎo)讀】雪林雨荷，一生承諾?。』仡欀袑W(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義.則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無(wú)限循環(huán)小數(shù)。其中為非負(fù)整數(shù)，。2）若存在非負(fù)整數(shù)，使得，而，則稱大于（或小于），分別記為（或）。,,,,稱為的不足近似值；,,,,稱為的過(guò)剩近似值。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.例證明集合是無(wú)界數(shù)集.它為數(shù)集S的上確界；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。對(duì)一切有，即是數(shù)集S的上界；則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。的.因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見(jiàn)的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí).

　　

【正文】 拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法。 1176。 拉格朗日中 值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它 的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來(lái)我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通 函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。 2176。 構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微分中值定理的基本方法。實(shí)際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的一種重要手 段，通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，這種論證思想也是數(shù) 學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合第三 部分的題目仔細(xì)體會(huì)總結(jié) 。 二 不定式的極限 一 . 型 : 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 52 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 定理 ( Hospital 法則 ) 若函數(shù) 和 滿足： (i) (ii) 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且 ； (iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ） 則 ( 證 ) 注意 : 若將定理中的 x 換成 ，只要相應(yīng)地求證條件 (ii)中的 鄰域，也可以得到同樣的結(jié)論。 二 . 型不定式 極限 : 定理 ( Hospital 法則 ) 若函數(shù) 和 滿足： (i) (ii) 在點(diǎn) 的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且 ； (iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ） 則 注意 1 不存在，并不能說(shuō)明 不存在（為什么？） 注意 2 不能對(duì)任何比式極限都按洛必達(dá)法則來(lái)求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿 足洛必達(dá)法則條件 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 53 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 例 求極限 . ( Hospital 法則失效的例 ) 三 . 其他待定型 : .前四個(gè)是冪指型的 . 167。 3 泰勒公式 一 . 問(wèn)題和任務(wù) : 泰勒定理的引入和基本思想 容易驗(yàn)證多項(xiàng)式函數(shù) 一般函數(shù)上面的結(jié)果能否成立或近似成立呢？若一個(gè)函數(shù)能用多項(xiàng)式近似，對(duì)函數(shù)的計(jì)算、性質(zhì)的 研究就會(huì)大大簡(jiǎn)化。 用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性 。 對(duì)已知的函數(shù) , 希望找一個(gè)多項(xiàng)式逼近到要求的精度 . 三 Taylor( 1685— 1731 )多項(xiàng)式 : 分析前述任務(wù)，引出用來(lái)逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式 定義 Taylor 多項(xiàng)式 及 Maclaurin 多項(xiàng)式 四 Taylor 公式和誤差估計(jì) : 稱 為余項(xiàng) . 稱給出 的定量或定性描述的式 為函數(shù) 的 Taylor 公式 . 1. 誤差的定量刻畫 ( 整體性質(zhì) ) —— Taylor 中值定理 : 定理 設(shè)函數(shù) 滿足條件 : ⅰ ) 在閉區(qū)間 上 有直到 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 。 ⅱ ) 在開(kāi)區(qū)間 內(nèi) 有 階導(dǎo)數(shù) . 則對(duì) 使 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 54 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 . 證 稱這種形式的余項(xiàng) 為 Lagrange 型余項(xiàng) . 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor 公式為具 Lagrange 型余項(xiàng)的 Taylor 公式 . Lagrange 型余項(xiàng)還可寫為 . 時(shí) , 稱上述 Taylor 公式為 Maclaurin 公式 , 此時(shí)余項(xiàng)常寫為 . 關(guān)于 Taylor 公式中 Lagrange 型余項(xiàng)的進(jìn)一步討論可參閱 : Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89(1982). 2. 誤差的定性描述 ( 局部性質(zhì) ) —— Peano 型余項(xiàng) : 定理 2 若函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)具有 階導(dǎo)數(shù) , 且 存在 , 則 證 設(shè) , . 應(yīng)用 Hospital法則 次 , 并注意到 存在 , 就有 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 55 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 . 稱 為 Taylor 公式的 Peano 型余項(xiàng) , 相應(yīng)的 Maclaurin公式的 Peano 型余項(xiàng)為 . 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的 Taylor 公式為具 Peano 型余項(xiàng)的Taylor 公式 ( 或 Maclaurin 公式 ). 四 . 函數(shù)的 Taylor 公式 ( 或 Maclaurin 公式 )展開(kāi) : 例 驗(yàn)證下列函數(shù)的 Maclaurin 公式 167。 4 函數(shù)的極值與最大 (小 )值 一 可微極值點(diǎn)判別法 : 極值問(wèn)題 : 極值點(diǎn) , 極大值還是極小值 , 極值是多少 . 1. 可微極值點(diǎn)的必要條件 : Fermat 定理 . 函數(shù)的駐點(diǎn)和 (連續(xù)但 )不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為穩(wěn)定點(diǎn) , 穩(wěn)定點(diǎn)的求法 . 2. 極值點(diǎn)的充分條件 : 對(duì)每個(gè)穩(wěn)定點(diǎn) , 用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn) . 定理 4 (充分條件Ⅰ ) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù) , 在鄰域 和 內(nèi)可導(dǎo) . 則 ?。? 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時(shí) , 為 的一個(gè)極小值點(diǎn) 。 ⅱ） 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時(shí) , 為 的一個(gè)極大值點(diǎn) 。 ⅲ） 若 在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào) , 則 不是極值點(diǎn) . 定理 5 (充分條件Ⅱ ) 設(shè)點(diǎn) 為函數(shù) 的駐點(diǎn)且 存在，則 ?。? 當(dāng) 時(shí) , 為 的一個(gè)極大值點(diǎn) 。 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 56 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 ⅱ） 當(dāng) 時(shí) , 為 的一個(gè)極小值點(diǎn) . 證法一 當(dāng) 時(shí) , 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi) 與 異號(hào) ,…… 證法二 用 Taylor 公式 展開(kāi)到二階 , 帶 Peano 型余項(xiàng) . 二 最大值最小值 先看三個(gè)函數(shù)的圖象 (c61) 由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點(diǎn)處，不可導(dǎo)點(diǎn)處， 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點(diǎn)。 因此 , 函數(shù)的最大最小值點(diǎn)應(yīng)從：穩(wěn)定點(diǎn) , 不可導(dǎo)點(diǎn) , 端點(diǎn) 中 去尋找， 這三種點(diǎn)中，函數(shù)取最大者為函 數(shù)的最大點(diǎn)，取最小者為函數(shù)的最小值點(diǎn)，因此求解最大最小點(diǎn)的步驟應(yīng)為 : 第一步 求出穩(wěn)定點(diǎn) , 不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn) 第二步 算出這些點(diǎn)處的函數(shù)值 , 其中最大者就是最大值 , 最小者就是最小值 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 57 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 167。 5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn) 一． 凸性的定義及判定： 1． 凸性的定義：由直觀引入 . 強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別 . 定義 1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I 上連續(xù) . 若對(duì) I 和 恒有 則稱曲線 在區(qū)間 I 的凸函數(shù) , 反之 , 如果總有 則稱曲線 在區(qū)間 I 的凹函數(shù) . 若在上式中 , 當(dāng) 時(shí) , 有嚴(yán)格不等號(hào)成立 , 則稱曲線 在區(qū)間 上是嚴(yán)格凸 (或嚴(yán)格凹 )的 . 凸性的幾何意義 : 倘有切線，考慮 與切線的位置關(guān)系 。 與弦的位置關(guān)系 。 曲線的彎曲方向 . 引理 為區(qū)間 I 上的凸函數(shù)的充要條件是 :對(duì) I 上任意三點(diǎn) : , 總有 證明 : 必要性 充分性 定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I 上可導(dǎo) , 則下面條件等 價(jià) : (i) 為 I 上凸函數(shù) (ii) 為 I 上的增函數(shù) (iii) 對(duì) I上的任意兩點(diǎn) 有 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 58 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 證明 2． 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向 : 定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù) , 則在 內(nèi) ⑴ 在 內(nèi)嚴(yán)格上凸 。 ⑵ 在 內(nèi)嚴(yán)格下凸 . 證法一 ( 用 Taylor 公式 ) 對(duì) 設(shè) , 把 在點(diǎn) 展開(kāi)成具 Lagrange 型余項(xiàng)的 Taylor 公式 , 有 . 其中 和 在 與 之間 . 注意到 , 就有 , 于是 , 若有 上式中 , 即 嚴(yán)格上凸 . 若 有 上式中 , 即 嚴(yán)格下凸 . 證法二 ( 利用 Lagrange 中值定理 . ) 若 則有 ↗↗ . 不妨設(shè) , 并設(shè) , 分別在區(qū)間 和 上應(yīng)用Lagrange 中值定理 , 有 . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 59 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 有 又由 ， , ， 即 ， 嚴(yán)格下凸 . 可類證 的情況 . 3． 凸區(qū)間的分離 : 的正、負(fù)值區(qū)間分別 對(duì)應(yīng)函數(shù) 的下凸和上凸區(qū)間 . 二 . 曲線的拐點(diǎn) : 拐點(diǎn)的定義 . 167。 6 函數(shù)圖象的討論 我們要認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)，搞清它的性質(zhì)，往往要從研究它的圖象入手，借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察、分析， 發(fā) 現(xiàn) 其 隱 含 的 規(guī) 律 性 東 西 。 比 如 我 們 在 第 二 部分 研 究 特 殊 極限 時(shí)，首先用中學(xué)時(shí)講過(guò)的 從中學(xué)求點(diǎn)描跡作圖知道，作圖象的一般步驟應(yīng)是 1 確定函數(shù)定義域 ，以安排合適大小的坐標(biāo)系； 2 確定函數(shù)的奇偶性、周期性，以減少作圖工作量 ； 3 給出反映函數(shù)特性的某些關(guān)鍵點(diǎn)，比如與軸的交點(diǎn)； 4 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凸凹性、拐點(diǎn)。 例 1 作函數(shù) 圖象 1 函數(shù)定義域 2 該函數(shù)不是奇偶函數(shù)，也 不是周期函數(shù) 3 與軸的交點(diǎn) 與 4 單調(diào)區(qū)間和極值 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 60 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 y=39。1/4*(x3)^2/(x1)39。 y1=diff(y)。 dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x3)*(x+1)/(x1)^2 時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)由 決定： 時(shí) , 函數(shù)嚴(yán)格遞增 , 時(shí) , 遞減， 為極大點(diǎn)， 為極小點(diǎn)。 x － 1 3 y 極大 極小 凸凹性 d2ydx2=simplify(diff(y1)) d2ydx2 = 2/(x1)^3 x1 上凸 , x1 下凸 x1 x =1 1x1 x=1 1x3 x=3 x3 增 極大 減 減 極小 增 漸近線 垂直漸近線 : 顯然 x=1 為垂直漸近線 斜漸近線 : = k 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 61 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 再計(jì)算 s=39。1/4*x39。s1=symsub(y,s)。 simplify(s1) ans = 1/4*(5*x9)/(x1) 有斜漸近線 我們把找到的特殊點(diǎn) , 漸近線先畫出來(lái) 第八 部分 不定積分 167。 1 不定積分概念與基本積分公式 一 原函數(shù)與不定積分 前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與微分，由已知函數(shù)利用基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則可以求出它的導(dǎo)數(shù)，那自然會(huì) 想到：求導(dǎo)運(yùn)算能否和數(shù)的四則運(yùn)算那樣，知道了 導(dǎo)數(shù) 反過(guò)來(lái)就能求