【正文】 全國(guó)考研專業(yè)課高分資料 大連理工大學(xué) 《數(shù)學(xué)分析》 筆記 筆 記：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科生筆記或者輔導(dǎo)班筆記 講 義：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科教學(xué)課件 期末題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)本科期末測(cè)試題 23套 模擬題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課模擬測(cè)試題 2套 復(fù)習(xí)題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)考研專業(yè)課導(dǎo)師復(fù)習(xí)題 真 題：目標(biāo)院校目標(biāo)專業(yè)歷年考試真題，本項(xiàng)為贈(zèng)送項(xiàng)，未公布的不送 ！ 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 2 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 目錄 第二模塊 筆記 ....................................................... 4 第一部分 實(shí)數(shù)集與函數(shù) ........................................... 4 第二部分 數(shù)列極限 .............................................. 10 第三部分 函數(shù)極限 .............................................. 12 第四部分 函數(shù)連續(xù)性 ............................................ 19 第五部分 導(dǎo)數(shù)與微分 ............................................ 35 第六部分 微分中值定理及其應(yīng)用 .................................. 42 第八部分 不定積分 .............................................. 61 第九部分 定積分 ................................................ 66 第十部分 定積分的 應(yīng)用 .......................................... 73 第十一部分 反常積分 ............................................ 82 第十二部分 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ............................................ 87 第十三部分 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ................................. 108 第十四部分 冪級(jí)數(shù) ............................................. 121 第十五部分 傅里葉級(jí)數(shù) ......................................... 139 第十六部分 多元函數(shù)的極限與連續(xù) ............................... 156 第十七部分 多元函數(shù)微分學(xué) ..................................... 163 第十八部分 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 ................................. 178 第十九部分 含參量積分 ......................................... 183 第二十部分 曲線積分 ........................................... 196 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 3 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 第二十一部分 重積分 ........................................... 200 第二十二部分 曲面積分 ......................................... 210 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 4 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 第二模塊 筆記 第一 部分 實(shí)數(shù)集與 函數(shù) 167。 1 實(shí) 數(shù) 數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，因此先敘述一下實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 一． 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)： 回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義 . 有理數(shù)： 若規(guī)定： 則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。 例如： 記為 ； 0 記為 ； 記為 實(shí)數(shù)大小的比較 定義 1 給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 其中 為非負(fù)整數(shù)， 。若由 1） 則稱 與 相等，記為 2） 若存在非負(fù)整數(shù) ，使得 ，而 ，則稱 大于 （或 小于 ），分別記為 （或 ）。 規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)；對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) ，若按定義 1 有 ，則稱 實(shí)數(shù)的有理數(shù)近似表示 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 5 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 定義 2 設(shè) 為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù) 為實(shí)數(shù) 的 位不足近似值，而有理數(shù) 稱為 的 位過剩近似值。 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù) 的 位不足近似值規(guī)定為： ； 的 位過剩近似值規(guī)定為： 比如 ，則 , , , , 稱為 的不足近似值； , , , , 稱為 的過剩近似值。 命題 設(shè) 為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則 實(shí)數(shù)的一些主要性質(zhì) 1 四則運(yùn)算封閉性 : 2 三歧性 ( 即有序性 ): 3 實(shí)數(shù)大小由傳遞性，即 4 Achimedes 性 : 5 稠密性 : 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性 . 6 實(shí)數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸 : 例 二 . 絕對(duì)值與不等式 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 6 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 絕對(duì)值定義： 從數(shù)軸上看的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離： 絕對(duì)值的一些主要性質(zhì) 性質(zhì) 4（三角不等式）的證明： 三 . 幾個(gè)重要不等式 : ⑴ ⑵ 對(duì) 記 (算術(shù)平均值 ) 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 7 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 (幾何平均值 ) (調(diào)和平均值 ) 有均值不等式 : 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立 . ⑶ Bernoulli 不等式 : (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過 ) 對(duì) 由二項(xiàng)展開式 有 : 上式右端任何一項(xiàng) . 167。 2 數(shù)集。確界 167。 2 二 數(shù)集 . 確界原理 : 一 區(qū) 間與鄰域 : 鄰域 二 有界數(shù)集 . 確界原理 : 1. 有界數(shù)集 : 定義 (上、下有界 , 有界 ) 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 8 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 閉區(qū)間、 為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 也是有界數(shù)集 . 無界數(shù)集 : 對(duì)任意 ，存在 ，則稱 S為無界集。 等都是無界數(shù)集 , 例 證明集合 是無界數(shù)集 . 證明：對(duì)任意 , 存在 由無界集定義， E 為無界集。 確界 先給出確界的直觀定義：若數(shù)集 S有上界，則顯然它有無窮多個(gè)上界，其中最小的一個(gè)上界我們稱 它為數(shù)集 S 的上確界；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。 精確定義 定義 2 設(shè) S是 R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條： （ 1） 對(duì)一 切 有 ，即 是數(shù)集 S 的上界； （ 2） 對(duì)任何 存在 使得 （即 是 S的最小上界） 則稱數(shù) 為數(shù)集 S 的上確界。記作 定義 3 設(shè) S是 R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足一下兩條： （ 3） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集 S 的下界； （ 4） 對(duì)任何 存在 使得 （即 是 S的最大下界） 則稱數(shù) 為數(shù)集 S 的下確界。記作 167。 3 函數(shù)概念 函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象 , 可以說數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)雪林雨荷，一生承諾！ ！ 9 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 的 . 因此我們對(duì)函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應(yīng)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí) . 一 函數(shù)的定義 1. 函數(shù)的幾點(diǎn)說明 . 函數(shù)的兩要素 : 定義域和對(duì)應(yīng)法則 約定 : 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值 . 函數(shù)的表示法 : 解析法 , 列表法 , 圖像法 . 分段函數(shù) 狄里克雷函數(shù) 黎曼函數(shù) 三 函數(shù) 的四則運(yùn)算（見課本） 四 . 函數(shù)的復(fù)合 : 六 初等函數(shù) : 基本初等函數(shù) : 1 常函數(shù) 2 冪函數(shù) 冪函數(shù) 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 10 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 167。 4 具有某些特性的函數(shù) 若函數(shù) 在定義域 上既有上界又有下界，則稱 為 上的有界函數(shù)。這個(gè)定義顯然等價(jià)于，對(duì)一切 ，恒有 請(qǐng)同學(xué)們利用有界函數(shù)的定義給出無界函數(shù)的定義。 例 是無界函數(shù)。 證明 對(duì)任意的 ，存在 ，取 ，則 2. 單調(diào)函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù) （ 1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱 周期函數(shù) 1) 通常我們所說的周期總是指函數(shù)的最小周期 2) 有的周期函數(shù)不一定有最小周期 ，例如常函數(shù)是周期函數(shù)， 狄里克雷函數(shù)，它們顯然沒有最小周期 第二 部分 數(shù)列極限 167。 1 數(shù)列極限概念 對(duì)于數(shù)列 ，設(shè) A 是一個(gè)常數(shù)，若任給 ，都存在相應(yīng)的自 然數(shù) 時(shí)， ，則稱 A為數(shù)列 的極限。 下面我們通過圖示，對(duì)數(shù)列定義作幾點(diǎn)說明： （ 1） 的任意性 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 11 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 （ 2） 的相應(yīng)性 三、用極限定義證明 的例題 2. 數(shù)列極限的等價(jià)定義 : 對(duì) 對(duì)任正整數(shù) 167。 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 1. 極限唯一性：（ 證 ） 2. 收斂數(shù)列有界性 —— 收斂的必要條件：（ 證 ） 3. 收斂數(shù)列保號(hào)性： 定理 設(shè) 或 . 則對(duì) ( 或 (或 例 1 設(shè) 證明：若 則 （ 證 ） 定理 設(shè) 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情況 ） . 推論 若 則對(duì) 4. 定理（ 迫斂性 ） ( 證 ) 5. 絕對(duì)值收斂性 : ( 注意反之不確 ). ( 證 ) 推論 設(shè)數(shù)列 { }和 { }收斂 , 則 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 12 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 : 7. 子列收斂性 : 子列概念 . 定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) { }收斂 { }的任何子列收斂于同一極限 . 定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 )