【正文】 t) 具有 相同的 平均功率 或 方差。 即 得 81 窄帶隨機(jī)過(guò)程 ?根據(jù)平穩(wěn)性，過(guò)程的特性與變量 t 無(wú)關(guān)，故由式 ttttt cscc ????? s i n)(c o s)()( ??)()(,0 111 tttt c?? ??? 時(shí))()(,2 222 tttt sc???? ???? 時(shí)因?yàn)??(t)是 高斯過(guò)程 ，所以， ?c(t1)， ?s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而 ?c(t) 、 ?s(t)也是 高斯過(guò)程。 得到 82 窄帶隨機(jī)過(guò)程 ?根據(jù) 可知， ?c(t) 與 ?s(t)在 ? = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此?c(t) 與 ?s(t)也是 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 ?結(jié)論： 一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程?(t) ，它的同相分量 ?c(t)和正交分量 ?s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的 ?c 和 ?s 是 互不相關(guān)的 或 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 。 0)0( ?csR83 窄帶隨機(jī)過(guò)程 包絡(luò) a?(t)和相位 ??(t)的統(tǒng)計(jì)特性 ?聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a? , ?? ) 根據(jù)概率論知識(shí)有 由 可以求得 ),()(),(),( ,???? ??????afaf scsc????????????????s inc o saasc???),()( ,?? ???asc??????????????????scscaa???????????aaa ??? c o ss ins inc o s22221( , ) ( ) ( ) e x p [ ]22csc s c sf f f????? ? ? ?? ? ??? ? ? ?84 窄帶隨機(jī)過(guò)程 于是有 式中 a? ? 0, ?? ∈ (0 ~ 2π) 2222( c o s ) ( sin )( , ) ( , ) e x p22csa a af a a f ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ??? ?? ? ??????????????? 222 2e x p2???????aa85 窄帶隨機(jī)過(guò)程 ?包絡(luò) a?的一維概率密度函數(shù) 再利用概率論中邊際分布知識(shí)將 f(a? , ??)對(duì) ??積分 可見， a? 服從瑞利 (Rayleigh)分布。 ?? ???????????????????????? ??????20222 2e x p2),()( daadafaf222e xp 02aaa?? ???????? ? ???????86 窄帶隨機(jī)過(guò)程 ?相位 ??的一維概率密度函數(shù) 可見， ??服從均勻分布。 ??????????????????20212e x p21),()(02220?????????????? ????daaadaaff87 窄帶隨機(jī)過(guò)程 ?結(jié)論 一個(gè)均值為零，方差為 ??2的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程 ?(t)，其包絡(luò) a?(t)的一維分布是 瑞利分布 ，相位 ??(t)的一維分布是 均勻分布 ，并且就一維分布而言， a?(t)與 ??(t)是 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有 )()(),( ???? ?? fafaf ??88 正弦波加窄帶高斯噪聲 ?正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式 式中 )()c o s ()( tntAtr c ??? ??)](c o s [)(s i n)(c o s)(s i n)](s i n[c o s)](c o s[tttzttzttzttnAttnAccScccscc????????????????)(c o s)( tnAtz cc ?? ?)(s in)( tnAtz ss ?? ?( ) ( ) c os ( ) sinc c s t n t t n t t????89 正弦波加窄帶高斯噪聲 ?正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式 包絡(luò)： 相位： ?包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z) 0,)()()( 22 ??? ztztztz sc)20(,)()()( 1 ??? ??? ?tztztgtcs222s in][c os][nscscAzEAzE?????????由 上一節(jié)的結(jié)果，如果?值已給定，則 zc、 zs 是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有 90 正弦波加窄帶高斯噪聲 根據(jù) zc， zs與 z， ?之間的隨機(jī)變量關(guān)系，求得在給定相位 ? 的條件下的 z與 ?的聯(lián)合概率密度函數(shù) ? ????????????2222)s i n()c o s(21e x p21)/,(??????AzAzzzfscnnsc)/,()/,( ??? sc zzfzf ?)()(?z,zz sc,?? )/,( ?sc zzfz ??? ??????? ????? )c o s (221e x p22222 ????? AzAzznnc o ss incszzzz????? ??91 正弦波加窄帶高斯噪聲 然后求給定條件下的邊際分布， 即 有 故有 式中 I0(x) － 第一類零階修正貝塞爾函數(shù) ?????????????dAzAzzdzfzfnnn???????????????? ??????)c os (e x p2e x p2)/,()/(220222220? ? )(c o se x p2 1 020 xIdx ?? ??? ???????????????? ??20220)c o s (e x p2 1nnAzIdAz???????92 正弦波加窄帶高斯噪聲 因此 由上式可見， f (?, z)與 ?無(wú)關(guān)，故 稱為 廣義瑞利分布 ，又稱 萊斯 （ Rice）分布。 ?????????????? ????202222 )(21e x p)/(nnnAzIAzzzf????0)(21e x p)(202222 ?????????????????? zAzIAzzzfnnn ???93 正弦波加窄帶高斯噪聲 ? 討論 ? 當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即 A ? 0時(shí)，上式中(Az/?n2)很小， I0 (Az/?n2) ? 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。 ? 當(dāng) (Az/?n2)很大時(shí)，有 這時(shí)上式近似為高斯分布，即 xexI x?2)(0 ????????? ???? 222)(e x p21)(nnAzzf???94 正弦波加窄帶高斯噪聲 ?包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線 95 正弦波加窄帶高斯噪聲 ?正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計(jì)特性 F(?) 96 第 3章總結(jié) 隨 機(jī)變 量隨 機(jī)過(guò) 程平 穩(wěn)過(guò) 程記 錄( 樣 本 )隨 機(jī)過(guò) 程高 斯過(guò) 程白 噪 聲高 斯 白噪 聲高 斯窄 帶正 弦信 號(hào)信 號(hào) 加噪 聲無(wú) 窮多 個(gè)一 個(gè)無(wú)窮多個(gè)平 穩(wěn)系 統(tǒng)線性系統(tǒng)概率密度函數(shù)為高斯功率譜為均勻時(shí) 間 起 點(diǎn)無(wú) 關(guān)經(jīng)B F P97 延遲 τ 1/T∫ x(t) x( t τ) R(τ) 98 ?平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? — ?(t)的平均功率 ? — ?的偶函數(shù) ? — R(?)的上界 即自相關(guān)函數(shù) R(?)在 ? = 0有最大值。 ? — ?(t)的直流功率 ? 表示平穩(wěn)過(guò)程 ?(t)的交流功率。當(dāng)均值為 0時(shí)，有 R(0) = ?2 。 2( 0 ) [ ( )]R E t??( ) ( )RR????( ) ( 0)RR? ?22( ) [ ( ) ] aR E t?? ? ?2( 0) ( )RR ?? ?