[法學(xué)]第04章平面問題的極坐標(biāo)解答-資料下載頁
2025-01-19 13:57本頁面
【正文】 nc o s( c o s2??+?rjjrtsj?j??rsF課后作業(yè) 作業(yè)：習(xí)題 4－ 18 ? 極坐標(biāo)中的平衡微分方程 ? 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程 ? 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程 ? 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 ? 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移 ? 圓環(huán)或圓筒受均布壓力 ? 圓孔的孔口應(yīng)力集中 ? 半平面體在邊界上受集中力 ? 半平面體在邊界上受分布力 主要內(nèi)容 167。 半平面體在邊界上受分布力 ?有了上一節(jié)中集中力作用下的解答，可以很方便地將它推廣有分布荷載作用下的情形。如圖，半平面體受分布力 q 的作用，根據(jù)疊加原理來求解。 半平面體在邊界上受分布力 ?為了推廣教材中式（ 424）的應(yīng)力解答，需要用微分集中力 dF = qdx 來代替式（ 424）中的集中力 F。并注意在式（ 424）中的 x 表示力 F 作用點到所求點的垂直距離，現(xiàn)在 dF 作用點到所求點的垂直距離仍為 x ； 式（ 424）中的 y 表示力 F 作用點到所求點的水平距離，現(xiàn)在 dF 作用點到所求點的水平距離應(yīng)為 yx 。 綜上，推廣應(yīng)用時應(yīng)作如下的代換： )(,dd xx ???? yyxxqFF?然后從 b 到 a 對 x 積分，即可得出分布荷載 q 作用下的解答式 （ 426） 。 ?對于均勻分布荷載， q 為常量，應(yīng) 用式 (426)可得式 (427)。 本章小結(jié) 極坐標(biāo)中的基本方程和邊界條件 02101?++??+???++??+??jrjjrjrjrrjrrtjsrrtrssjtrrsff（ 1）平衡微分方程 （ 41） rrjrgjrrerejjrrjjrjrruuuuuu??+?????+????11（ 42） （ 2）幾何方程 本章小結(jié) （ 4）邊界條件：對于由徑向線和環(huán)向線所圍成的彈性體，其邊界面通常均為坐標(biāo)面，邊界的表示變得十分簡單，所以邊界條件也十分簡單。 （ 3）物理方程（平面應(yīng)力問題） rjrjrjjjrrt?g?sse?sseEEE)1(2)(1)(1+???（ 43） 本章小結(jié) 極坐標(biāo)中按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足： （ 1）區(qū)域內(nèi)滿足極座標(biāo)中的相容方程： （ 2）在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件）； 011222222????????????+??+??jrrrr（ 46） （ 3）如為多連體，還須滿足位移單值連續(xù)條件； 當(dāng)不計體力時，由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量的表達(dá)式： )1(1122222jrrtrsjrrrsrjjr?????????????+????（ 45） 本章小結(jié) 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移 （ 3）位移（平面應(yīng)力問題）：教材中公式 （ 412） （ 1）應(yīng)力函數(shù)： DCBA +++?? 22 lnln rrrr （ 410） （ 2）應(yīng)力分量： 02)ln23(2)ln21(22??+++?+++?jrrjjrttrrsrrsCBACBA（ 411） 習(xí)題課 例 設(shè)有一楔形體，其中心角為 2?，下端無限長，在頂端受到集中力偶作用，單位寬度上的力偶矩為 M，楔形體的厚度取為單位長，如圖所示，不計體力。（ 1）假設(shè)應(yīng)力函數(shù) Φ= f(f)，在極坐標(biāo)系下求解應(yīng)力分量；（ 2）根據(jù)上述結(jié)果，求半無限大平面體在上邊界上受集中力偶 M作用時的應(yīng)力分量。 習(xí)題課 （ 1）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)： )(jf???按逆解法進(jìn)行求解 （ 2）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)的一般形式：上述應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，代入式（ 46）得： 0d)(d4d)(d1d)(d111112244422222222222222?????????+???????????????????+??+??????????????+??+??jjjjrjjrjrrrrjrrrrfff習(xí)題課 0d)(d4d)(d1d)(d111112244422222222222222?????????+???????????????????+??+??????????????+??+??jjjjrjjrjrrrrjrrrrfff其中 A、 B、 C和 D為四個待定常數(shù)。 方程為一個四階常微分方程，其全部通解只有 4項。用特征根法求解，得到其解： DCBA +++?? jjj 2s in2c o s（ 3）求應(yīng)力分量一般表達(dá)式：將上式代入（ 49），得應(yīng)力分量為： 習(xí)題課 ( )( )CBABA++????????????????+????jjrjrrtrsjjrjrrrsrjjr2c os22s in21)1(02s in42c os41112222222DCBA +++?? jjj 2s in2c o s習(xí)題課 集中力偶作用在原點，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮： （ 1）不包含原點，則在 r≠0 ， f= 177。 ?的邊界面上，沒有任何法向和切向面力作用。 0,0 0,0, ?? ?????? r?jrjr?jj ts此外還有應(yīng)力邊界條件： 考察邊界條件，求待定常數(shù) 首先分析問題的對稱性：由于結(jié)構(gòu)是正對稱的，而荷載是反對稱的，因此應(yīng)力函數(shù)是反對稱的。 DCBA +++?? jjj 2s in2c o s 0?A02c o s2 ?+ CB ?習(xí)題課 （ 2）在原點附近，考慮平衡條件。以點O為中心，以 r為半徑作圓弧線，取上半截為脫離體 ， 然后考慮此脫離體的平衡條件，得到三個平衡方程： ? ?? ?0d)(,00c osd)(s ind)(,00s ind)(c osd)(,0?????+?????????????????MrrMrrFrrFrorryrrx??rrj??rrjrr??rrjrrjtjjtjjsjjtjjs習(xí)題課 前兩式自然滿足，由第三式有： MCB ??+ ?? 22s in2? ?? ?0d)(,00c osd)(s ind)(,00s ind)(c osd)(,0?????+?????????????????MrrMrrFrrFrorryrrx??rrj??rrjrr??rrjrrjtjjtjjsjjtjjs( ) ( )( ) ( )CBCBABBA+?++????jrjjrtsjrjjrsrjjr2c o s212c o s22s in2102s in412s in42c o s412222習(xí)題課 進(jìn)而求得應(yīng)力分量： MCBCB??+?+???22s in202c o s2???????2c os42s in22c os22c os42s in2??MCMB222c os2c os2c os22s in02s in2c os22s in2r?j???tsrj???srjjr???MM習(xí)題課 根據(jù)上述解答可求得半平面體受集中力偶作用的應(yīng)力分量 222c os2c os2c os22s in02s in2c os22s in2r?j???tsrj???srjjr???MM2212c os02s in2rj?tsrj?srjjr+???MM令 2?=π ，代入上式有
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