離散數(shù)學(xué)第七講群、環(huán)、域-資料下載頁
2025-01-16 20:44本頁面
【正文】 項(xiàng)式集合。 環(huán)和域 是環(huán) 是環(huán) 40 定理 1：設(shè) 〈 R, +, 〉 是個(gè)環(huán) , 0是加法么元 , 則對任意 元素 a, b, c∈ R (a) a0 = 0 a = 0 (b) (a)b = a( b) = (a b) (c) (a)( b) = ab (d) a( bc) = ab ac (e) (bc) a=ba ca 一、環(huán)的定義及性質(zhì) 41 定義 2 ： 〈 R, +, 〉 是一個(gè)環(huán) , 如果對于某些非零元素 a,b∈ R, 能使 a b=0, 則稱 〈 R, +, 〉 是 含零 因子環(huán) , a、 b稱為 零因子 , 無零因子的環(huán)稱為 無 零因子環(huán) 。 如 〈 N8 , +8 , 8〉 是含零因子環(huán)。 一、環(huán)的定義及性質(zhì) 42 定理 2： 環(huán) 〈 R, +, 〉 無零因子 , 當(dāng)且僅當(dāng) 〈 R, +, 〉 滿足 證： 設(shè) a, b, c∈ R是任意元素 , 且 a≠0 (1)必要性。 如果 a b=a c, 那么 a b a c=0, a( bc)=0, 由于無零因子 , 所以 bc=0, 即 b=c。 所以 〈 R, +, 〉 (2)充分性。 如果 bc =0且 b≠0, 那么 bc=b0, 由于滿足可約 律 , 所以 c=0。 又如果 b c=0且 c≠0, 那么 b c=0c, 由于滿足 可約律 , 所以 , b=0?？梢?〈 R, +, 〉 無零因子。 一、環(huán)的定義及性質(zhì) 43 定義 3： 給定環(huán) 〈 R, +, 〉 ,如果 〈 R, 〉 是可交換的 , 稱 〈 R, +, 〉 是 可交換環(huán) 。 如果 〈 R, 〉 是含么半 群 , 稱 〈 R, +, 〉 是 含么環(huán) 。 如果 〈 R, +, 〉 是可交換的 , 含么而無零因子環(huán) , 則稱它是 整環(huán) 。 例 2: (1)〈 I, +, 〉 (2)〈 N7 , +7 , 7〉 (3)〈 N8 , +8 , 8〉 一、環(huán)的定義及性質(zhì) 是整環(huán) 是整環(huán) 不是整環(huán) 44 定義 4： 如果 〈 F, +, 〉 是整環(huán) , |F|＞ 1,〈 F {0}, 〉 是群 , 則 〈 F, +, 〉 是 域 域的定義也可這樣敘述 : (1)〈 F, +〉 是阿貝爾群 , (2)〈 F {0}, 〉 是阿貝爾群 , (3) 乘法對加法可分配的代數(shù)系統(tǒng) 〈 F, +, 〉 稱為域。 例 3: (1)〈 Q, +, 〉 (2)〈 R, +, 〉 (3)〈 I, +, 〉 二、域的定義 是域 是域 不是域（ 〈 I {0}, 〉 不是阿貝爾群 ） 45 例 4： 〈 Nk, +k, k〉 是一個(gè)域 , 當(dāng)且僅當(dāng) k 證 ： 必要性。 若 k不是質(zhì)數(shù) , 那么 k =1 或 k =ab 。 k=1時(shí) , N1={0}。 只有一個(gè)元素故不是域 。 k=a b時(shí) , 則 a kb=0, a、 b是零因子 , 所以 〈 Nk, +k, k〉 二、域的定義 46 例 4： 〈 Nk, +k, k〉 是一個(gè)域 , 當(dāng)且僅當(dāng) k 證 (1) 顯然 〈 Nk, +k〉 是阿貝爾群。 (2)證明 〈 Nk{0}, k〉 是群 : (i) 對 Nk{0}中任意元素 a和 b, a kb≠0, 所以 Nk{0}對 k封閉。 (ii) k (iii) 運(yùn)算 k的么元是 1。 (iv) k是可交換的。 (v)對每一元素 a∈ Nk{0}都存在一逆元。 二、域的定義 47 例 4： 〈 Nk, +k, k〉 是一個(gè)域 , 當(dāng)且僅當(dāng) k 證 ：證明對每一元素 a∈ Nk{0}都存在一逆元。 設(shè) b,c是 Nk{0}中任二元素 ,b≠ c,現(xiàn)證 a kb≠ a kc。 用反證法 , 若 a kb=a kc=r, 則 ab = nk+r, ac = mk+r 不妨設(shè) b＞ c, 于是 n＞ m, abac = nkmk a(bc) = (nm)k (1) 因 a和 (bc)都比 k小而 k是質(zhì)數(shù) , (1)式不可能成立。 這樣就證明了若 b≠ c, 則 a kb≠ a kc 于是 a和 Nk{0}中的 k1個(gè)數(shù)的模 k乘法 , 其結(jié)果都不相 同 , 但又必須等于 {1, 2, ?, k1}中的一個(gè) , 故必存在一 元素 b, 使 a kb=1。 這就證明了任意元素 a存在逆元。 由 (i)~(v)得 〈 Nk{0}, k〉 二、域的定義 48 例 4： 〈 Nk, +k, k〉 是一個(gè)域 , 當(dāng)且僅當(dāng) k 證 ： (3) 乘法 k對加法 +k可分配 , 對任意元素 a, b, c∈ Nk, 有 又 k可交換 , 所以乘法在加法上可分配 。 綜上 ， 當(dāng) k是質(zhì)數(shù)時(shí) , 〈 Nk, +k, k〉 是域 。 二、域的定義 )()()]) ( m o d[()) ( m o d()) ] ( m o d([)]) ( m o d[()(cabakcakbakcbakcbacbakkkkkkk???????????????? 49 作業(yè)： P212 1， 3， 7， 13
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