【正文】 （21）解析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得 令 列表討論的變化情況：（1，3）3+0—0+極大值6極小值26所以，的極大值是，極小值是（Ⅱ）的圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線，關(guān)于x=a對(duì)稱.若上是增函數(shù)，從而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a1,則不恒成立.所以使恒成立的a的取值范圍是 44.（2009天津卷理）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)其中(1)當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率； (2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。（I）解析 （II） 以下分兩種情況討論。（1）＞，則＜.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗ （2）＜，則＞，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗ 45.（2009四川卷理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；（II）若（III）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)、考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力。解析 （Ⅰ）由題意知當(dāng)當(dāng)當(dāng)….（4分）（Ⅱ）因?yàn)橛珊瘮?shù)定義域知0,因?yàn)閚是正整數(shù)，故0a1.所以 （Ⅲ）令① 當(dāng)m=0時(shí)，有實(shí)根，在點(diǎn)左右兩側(cè)均有故無(wú)極值② 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表所示：+00+↗極大值↘極小值↗的極大值為，的極小值為③ 當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根， 同上可得的極大值為綜上所述，時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為當(dāng)時(shí)，的極大值為 46.（2009福建卷文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)且（I）試用含的代數(shù)式表示；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)；解法一：（I）依題意，得由得（Ⅱ）由（I）得（ 故 令，則或 ①當(dāng)時(shí)， 當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：+—+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為②由時(shí)，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R③當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得 由，得 由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 所以函數(shù)在處取得極值。 故 所以直線的方程為 由得 令 易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線， 故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)解法二：（I）同解法一（Ⅱ）同解法一。（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得，由，得由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值， 故所以直線的方程為 由得解得所以線段與曲線有異于的公共點(diǎn) 47.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。48.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。（1） ．．．．．．16分49.（2009重慶卷理）（本小題滿分13分，（Ⅰ）問(wèn)5分，（Ⅱ）問(wèn)8分）設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，討論的單調(diào)性． 解（Ⅰ）因又在x=0處取得極限值，故從而 由曲線y=在（1，f（1））處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令（1）當(dāng)（2）當(dāng)K=1時(shí)，g（x）在R上為增函數(shù)（3）方程有兩個(gè)不相等實(shí)根 當(dāng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，故上為減函數(shù)時(shí)，故上為增函數(shù)50.（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（Ⅰ）問(wèn)7分，（Ⅱ）問(wèn)5分）已知為偶函數(shù)，曲線過(guò)點(diǎn)，．（Ⅰ）求曲線有斜率為0的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極值，確定的單調(diào)區(qū)間．解: （Ⅰ）為偶函數(shù),故即有 解得又曲線過(guò)點(diǎn),得有從而,曲線有斜率為0的切線， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍:（Ⅱ）因時(shí)函數(shù)取得極值,故有即,解得又 令,得當(dāng)時(shí), ,故在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí), ,故在上為減函數(shù)當(dāng)時(shí), ,故在上為增函數(shù) 2005—2008年高考題一、選擇題1.（2008年全國(guó)一7）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 （ ）A．2 B． C． D．答案 D2.（2008年 湖北卷7）若上是減函數(shù)，則的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 答案 C3.（2008年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是 （ ）答案 D4.（2008年遼寧卷6）設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為 （ ）A． B． C． D．答案 A5.（2007年福建理11文）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，則時(shí) （ ）A． B．C． D．答案 B6.（2007年海南理10）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為 （ ）A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案 D7.（2007年江蘇9）已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為 （ ）A． B． C． D．答案 C8.（2007年江西理9）設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，則是的 （　 ?。〢．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案 B9.（2007年遼寧理12）已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是 （ ）A．0是的極大值，也是的極大值B．0是的極小值，也是的極小值C．0是的極大值，但不是的極值D．0是的極小值，但不是的極值答案 C10.（2006年天津卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn) （ ?。〢．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D． 4個(gè)答案 A解析 函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有1個(gè)，選A.二、填空題11.（2008年全國(guó)二14）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 ．答案 212.（2008年江蘇卷8）直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝ ．2BCAyx1O34561234答案 ln2－1．14.（2008年北京卷12）如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則2； ．（用數(shù)字作答） 答案 －214.（2007年廣東文12）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿＿．答案 15.（2007年江蘇13）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則 ．答案 3216.（2007年湖北文13）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則 ．答案 317.（2007年湖南理13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 ．答案 18.（2007年浙江文15）曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ．答案 19.（2006年湖北卷）半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長(zhǎng)C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則＝2r ①，①式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子： ②②式可以用語(yǔ)言敘述為： 。答案 V球＝，又 故式可填，用語(yǔ)言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！?0.(2005年重慶卷)曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為_(kāi)_________。答案 8/3三、解答題21.（2008年全國(guó)一19）已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．解析 （1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，，在上遞增當(dāng)，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：22.（2008年北京卷18）已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．解析 ．令，得．當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．23.（2008年天津卷21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)（），其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．滿分14分．（Ⅰ）解析 ．當(dāng)時(shí)，．令，解得，．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：02－0＋0－0＋↘極小值↗極大值↘極小值↗所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）解析 ，顯然不是方程的根．24.（2005年安徽卷）設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解 （Ⅰ）∵，∴.從而＝ 是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。25.( 2005年全國(guó)卷III)用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90176。角,再焊接而成(如圖),問(wèn)該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?解 設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，1分則V=(902x)(482x)x,(0V24) 5分 =4x3276x2+4320x∵V′=12x2552x+4320…… 7分由V′=12x2552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x10 時(shí)，V′0,10x36時(shí)，V′0,x36時(shí)，V′0,所以,當(dāng)x=10,V有極大值V(10)=1960…………………………………………………10分又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分所以當(dāng)x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分