【正文】 n1 代入上式 Qi1 Qi Qi+1 71 2) 切矢連續(xù)： P’i1(1)=P’i(0) 1? i ?n2 )0()1()0()1(0)0()1(139。239。039。139。239。039。XXXXXX????3)增加柯西條件 : (坐標變換后形狀不變性 ) ?? ?201)(ii tX解得 : )(21)()(21)()()1(21)(3,2223,1213,020tNttXtNtttXtNttX??????????!2110 )()()()( ?? ??? iiii QtXQtXQtXtP其矩陣表達式 : ?????????????????????????11201102202121]1[iiiQtt72 二次均勻 B樣條曲線的特性 幾何特性 首端 : t=0 )(21)0(1 iii P ?? ?末端 : t=1 )(21)1(1??? iii P曲線段的起點和終點為兩線段的中點 切矢 : ? ? ? ?11011022121012)(39。 ??????????????? iiii QttPiiiiiiPP??????11)1(39。)0(39。曲線段與兩直線段相切 Qi+1 Qi Qi1 移動一個控制點 ,不影響整體 ,局部性好 73 如圖所示 , 給出有序的 n+1個位置矢量 Qi（ i=0,1,…,n) ,每相鄰四個點一組 ,可以依次構(gòu)成 (n2)個線性組合 ,即 3. 三次均勻 B樣條曲線 Q0 Q1 Q2 Q3 Q8 Q5 Q6 Q7 Q4 23!2110 )()()()()( ??? ???? iiiii QtXQtXQtXQtXtP2,2,1 ?? ni ?10 ?? t1) 位置連續(xù) : 相鄰的兩段曲線 Pi(t) 和 Pi+1(t),分別在 t=0和 t=1處滿足 : Pi1(1)=Pi(0) 1? i ?n1 代入上式 )0()1()0()1()0()1(0)0()1(23120120XXXXXXXX?????74 2) 切矢和曲率連續(xù)： P’i1(1)=P’i(0) P”i1(1)=P”i(0) ( 1? i ?n2) 3)增加柯西條件 : (坐標變換后形狀不變性 ) ?? ?201)(ii tX解得 : 6/)(6/12/2/2/)(3/22/)()1(61)(3323223130ttXttttXtttXttX???????????)0()1()0()1()0()1(0)0()1(239。339。139。239。039。139。339。039。XXXXXXXX?????)0()1()0()1()0()1(0)0()1(231201339。0XXXXXXXX?????和 考慮函數(shù)的對稱性 ,可以假設(shè) X0(t)= X3(1t) X1(t)= X4(1t) 75 其矩陣表達式 : 23!2110 )()()()()( ??? ???? iiiii QtXQtXQtXQtXtPQi1 Qi Qi+1 Qi+2 Pi(0) Pi(1) ? ???????????????????????????????????211230141030303631331611)(iiiiittttP 10 ?? t2,2,1 ?? ni ?式中 Qi1 Qi Qi+1 Qi+2 為特征多邊形的四個相鄰頂點 特征多邊形有更多的頂點，則一條完整的 BSpline曲線將由若干段曲線所組成。 76 均勻三次 BSpline曲線的幾何關(guān)系 、末端點的位置矢量 )]()[(61)4(61)1()]()[(61)4(61)0(1211211111??????????????????????????iiiiiiiiiiiiiiiiiiPP、末端點的切矢量 )(21)1(39。)(21)0(39。211iiiiiiPP???????、末端點的曲率 )()()1()()()0(12111?????????????iiiiiiiiiiPPQi1 Qi Qi+1 Qi+2 A B C D Pi(1) Pi(0) Pi39。(0) Pi39。(1) Pi(0) Pi39。39。(1) 其中 ABCD為此段 Bezier曲線的特征多邊形的四個相鄰頂點 77 （ 1） 凸包性 。 即曲線位于控制多邊形凸包范圍內(nèi)； （ 2） 幾何不變性 。 曲線的幾何形狀和位置與坐標系的選擇無關(guān)； （ 3） 變差縮減性 。 （ 4） 連續(xù)性 。 （ 5） 局部性 。 （ 6） 造型的靈活性 。 可構(gòu)造直線段 、 尖點 、 切線等特殊情況 。 4. BSPLINE曲線的性質(zhì) 78 上機調(diào)試 BEZIER曲線的生成程序，并編寫 B樣條曲線程序 。 79 double x=x1,y=y1。 m=(y2y1)/(x2x1)。 int k=abs(x2x1)。 putpixel((int)x,(int)y,2)。 ++x。 //x=x+1\x++。 y+=m。 //y=y+m。 } 對于第一象限的直線，如斜率 1， x1x2，其直線生成的程序為： { for (int i=1。i=k。i++) 當(dāng) m1時 ,x , ?y1 因而造成隔行顯示 解決辦法 : 將 y看作自變量 分析： 111{ ?? ????iiiiyymxx公式變?yōu)?: 其中 :m=(x2x1)/(y2y1) 令 deltx= ?x。delty=?y。 80 改進的 Bresenham算法 由圖可知 若 ε(xi+1)≥0 yi+1,r=yir+1， (2) 若 ε(xi+1)≤0 yi+1,r=yir， xi Xi+1 Yi,r Yi+1,r B A D ε(x)的幾何意義 C xi列上已用（ xi,yir） 作為表示直線的點， 設(shè) B點是直線上的點，其坐標為（ xi+1,yi+1） 顯然下一個表示直線的點（ xi+1,yi+1,r）只能從圖 中的 C或者 D點中去選。 設(shè) A為 CD邊的中點 若 B在 A點上面則應(yīng)取 D點作為 （ xi+1,yi+1,r） 否則應(yīng)取 C點（ xi+1,yi,r） 為了能確定 B在 A點上面或下面，令 ε(xi+1)=yi+1, （ 1） 若 B在 A的下面，則有 ε(xi+1)0， 反之，則 ε(xi+1)0。 81 由式（ 1）和式（ 2）可得到 m:=deltay/deltax e:= for i:=1 to deltax do begin plot(x,y)。 if e=0 then begin y:=y+1。 e:=e1 end。 x:=x+1 e:=e+m end。 f:=2*deltaydeltax for i:=1 to deltax do begin plot(x,y)。 if f=0 then begin y:=y+1。 f:=f2*deltax end。 x:=x+1 f:=f+2*deltay end。 ={ yi+1 yir + m 1, 當(dāng) ε(xi+1)≥0 yi+1 yir + m, 當(dāng) ε(xi+1)≤0 ={ ε(xi+1) + m 1 ,當(dāng) ε(xi+1)≥0 ε(xi+1) + m , 當(dāng) ε(xi+1)≥0 由式（ 1）和式（ 2）可得到初值： ε(x2) = y2 y1 = m (4) 根據(jù)這個算法可得下列產(chǎn)生直線的程序： ε(xi+2)=yi+2 yi+1,r =yi+1 + m yi+1,r (3) xi Xi+1 Yi,r Yi+1,r B A D ε(x)的幾何意義 C 82 我們利用 上面方法來討論這個問題。 令 ε(xi+2)=yi+ 假定：當(dāng) yi+2yir≤ 繪制圖 A。 當(dāng) ≤ yi+2yir≤1 時繪制圖 B。 當(dāng) 1 ≤ yi+2yir≤ 時繪制圖 C。 當(dāng) yi+2yir≥ 時繪制圖 D。 ε(xi+2) + 2m, 當(dāng) ε(xi+2) ≤ 0 ε(xi+2) + 2m 1, 當(dāng) 1≥ε(xi+2)0 ε(xi+2) + 2m 2, 當(dāng) ε(xi+2)1 ε(xi+4)=yi+4 yi+2,r = yi+2 + 2m yi+2,r 類似式 (4)可取 ε(x3)=y3 y1 = 2m 相應(yīng)的程序為： yi+2 yir + 2m , 當(dāng) ε(xi+2) ≤ 0 yi+2 yir + 2m 1, 當(dāng) 1≥ε(xi+2)0 yi+2 yir + 2m 2, 當(dāng) ε(xi+2)1 { = { = 83 圓的多邊形迫近法 當(dāng)圓的內(nèi)接多邊形邊數(shù)足夠多時，該多邊形可以和圓接近到任意程度，因此在允許的范圍內(nèi)，可以用顯示多邊形代替顯示圓。顯示多邊形的邊可用 Bresenham算法來實現(xiàn)。現(xiàn)在來說明如何求圓的內(nèi)接正多邊形。 c α θi Pi+1 Pi 設(shè)要繪的圓的圓心為 c(xc,yc)，半徑為 R。設(shè)內(nèi)接多邊形的一個頂點為 Pi(xi,yi)， cPi的幅角為 θi（見圖 ），則： xi = xc + Rcosθi yi = yc + Rsinθi 設(shè)多邊形每條邊所對的圓心角為 α，則下一個頂點 Pi+1的坐標為 xi+1 = xc + Rcos(θi+α) = xc + (xi xc)cosα (yi yc)sinα yi+1 = yc + Rsin(θi+ α) = xc + (xi xc)sinα (yi yc)cosα 用矩陣表示為 xi+1 cosα sinα xi xc xc yi+1 sinα cosα yi yc yc 上式就是計算圓的內(nèi)接正多邊形的遞推公式。因為 α是常數(shù)， cosα和 sinα只要在開始時計算一次，這樣，算一個 (xi+1,yi+1)只要作四次乘法運算。 用正多邊形迫近圓弧法