【正文】 ，講問題轉化稱為求最大風險不超過 a 時的最大收益，即下面的線性規(guī)劃模型： ? ?? ?00m a xs. t . ( 1 , 2 , ... , )10 , 1 , 2 , ... ,ni i iiiiniiiir p xq x Ma i np x Mx i n????????????????????( 1 1 1) 多目標規(guī)劃 ——投資問題 若投資者希望總盈利至少達到水平 K 以上，則可以在風險最小的情況下尋找相應的投資組合，從而將原模型轉化成為下列的線性規(guī)劃模型進行求解： ? ?? ?? ?? ?00m i n m a x .10 , 1 , 2 , ...,iix ini i iiniiiiqxr p x Kp x Mx i n?????? ?????????? ?????( 1 1 2) 多目標規(guī)劃 ——投資問題 根據上面的分析，我們利用主要目標法建立了該問題的多目標規(guī)劃模型，進而轉化成為了線性規(guī)劃模型，下面我們利用 M A T L AB 對此問題進行求解并進行投資分析。將 4n ? 時的數(shù)據代入模型 ( 1 1 1) 中，我們可以得到 M A T L AB 的標準型為： 0 1 2 3 40 1 2 3 41234m i n . 10 , 1 , 2 , 3 , 4if x x x x xx x x x xxaxaxaxaxi? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ????????????? 由于 a 是任意給定的風險度，因而實際上沒有一個選擇的準則，不同的投資者可能有自身不同的判斷，因而使得 a 的取值不同。我們在求解的過程中不妨用試探的方法，從 0a ? 開始，以步長 0 .0 0 1a?? 進行搜索，通過實驗來分析和總結風險度 a和收益Q之間的數(shù)量關系 多目標規(guī)劃 ——投資問題 0 0 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6 0 . 0 7 0 . 0 8 0 . 0 9 0 . 10 . 0 50 . 10 . 1 50 . 20 . 2 50 . 3aQ風險度與收益關系圖 多目標規(guī)劃 ——投資問題 模型 ( 1 1 1) 的結果圖分析： ( 1) 由圖可知，收益隨風險增大而增大，就是說，風險越大，收益也越大。 ( 2) 由數(shù)據表可以看出，投資越分散，投資者承擔的風險越小。這與實際情況相符，就是說，冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。 ( 3) 曲線上的任一點都表示該風險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風險。投資者應根據對不同風險的承受能力，選擇該風險水平下的最優(yōu)投資組合。 ( 4) 由局部放大圖 10 ． 2 可以看出，在( 7 ) 060a ?附近有一個轉折點。在這一點左邊，風險增加很少時，利潤增長很快；在這一點右邊，風險增加很大時，利潤增長很緩慢。所以對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的該轉折點作為最優(yōu)投資組合，大約是( 7 ) 060a ?， *( 7 ) 0 . 2 0 1 9 ??，所對應投資方案為： [ 0 , 0 . 2 4 0 0 , 0 . 4 0 0 0 , 0 . 1 0 9 1 , 0 . 2 2 1 2 ]T?x 圖與網絡優(yōu)化 ——通訊網問題 如圖 11 4 所示，圖中每條邊代表兩居民點之間的道路，數(shù)字代表了路的長度，現(xiàn)在要在這 6 個居民點之間設置通訊網線路，以保證著 6 個居民點之間聯(lián)絡，如果已知設置通訊線路的代價與相應的道路長度成正比，那么我們應當如何設置該通訊網，使得聯(lián)網的代價最低？ 1v2v4v3v6v5v145362655 圖 11 4 通訊網示意圖 圖與網絡優(yōu)化 ——通訊網問題 圖 11 5 是一種建立通訊網絡的方案，該方案可以使得所有的居民點之間都能建立起聯(lián)系。 1v2v4v3v6v5v16255 圖 11 5 一個可能的聯(lián)網方案 如果我們在該方案的1v和2v之間再連接一條線路，則1 2 3,v v v之間形成了一個閉合的線路，但由于此時3v已經通過1v和2v建立了線路聯(lián)通，所以再連接1v和2v實際上是一種浪費，多余且增加成本，因為我們的目的實際上只要任意兩個居民點之間是可達的就可以了。 圖與網絡優(yōu)化 ——通訊網問題 如此看來，聯(lián)網方案必須滿足下列要求： ( 1) 僅使用可能存在的道路，使得任意兩個居民點，即圖中的任意兩個頂點之間是可達的； ( 2) 建立的通訊網不能存在回路 根據上述要求，實際上就是找到的一個沒有回路的連通圖，那么回顧我們在第九章中介紹的樹的概念，如果圖 G 是一個無圈的無向連通圖，則稱圖 G 為樹，同時如果圖 T 是 G 的一個生成子圖，而且 T 又是一棵樹，則稱圖 T 為一棵生成樹。那么這個問題實際上就可以抽象稱為尋找該圖的一棵生成樹，又因為需要使得聯(lián)網的代價最低，而聯(lián)網的代價和道路的長度成正比，于是聯(lián)網的代價可以轉化成為生成樹的權，例如上面給出的方案的聯(lián)網代價即為 19 。現(xiàn)在要使得代價最低，即生成樹的權最小，根據樹中的概念，可知即尋找該圖的一棵最小生成樹。至此，我們分析了該問題的模型，即最小生成樹問題。 圖與網絡優(yōu)化 ——通訊網問題 在此我們使用的是賦權圖的邊權矩陣表示，圖 11 4 的邊權矩陣為： 1 3 11 4 52 3 52 5 33 4 53 5 63644 6 25 6 6b????????????????????????????? 下面就是利用賦權圖的邊權矩陣求其最小生成樹的 K r us ka l 算法的 M A T L A B 代碼，我們只需將上述矩陣 b 作為輸入便可以得到最小生成樹的邊集合 T 、最小生成樹的鄰接矩陣表述 v 和問題的最小代價 c 。 圖與網絡優(yōu)化 ——通訊網問題 根據運行結果，該賦權圖的最小生成樹的邊集合為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 3 4 6 2 5 3 6 2 3, , , , , , , , ,T v v v v v v v v v v? 于是根據此結果我們畫出該圖的最小生成樹如圖 11 6 所示，亦即代價最小的通訊網聯(lián)網方案，由 c 的值可知該聯(lián)網方案的最小代價為 15 。 1v2v4v3v6v5v14532 圖 11 6 通訊網方案設計圖