方程求根計(jì)算方法課件及實(shí)驗(yàn)教學(xué)-資料下載頁(yè)
2025-01-12 12:00本頁(yè)面
【正文】 kkkkkfxx x xfxfxxfx?????? ? ? ?????為 下 山 因 子注： ? = 1 時(shí)就是 Newton’s Method 公式。 當(dāng) ? = 1 代入效果不好時(shí)，將 ? 每次減半計(jì)算。選擇 ?=1,1/2,1/4,1/8,… 使得 |f(xk+1)||f(xk)| 44 ? 正 割法 Newton’s Method 一步要計(jì)算 f 和 f ’，相當(dāng)于 2個(gè)函數(shù)值，比較費(fèi)時(shí)?，F(xiàn)用 f 的值近似 f ’，可少算一個(gè)函數(shù)值。 x0 x1 切線 割線 切線斜率 ? 割線斜率 11 )()()(???????kkkkk xxxfxfxf)()())((111??? ?????kkkkkkk xfxfxxxfxx 需要 2個(gè)初值 x0 和 x1。 收斂比 Newton’s Method 慢，且對(duì)初值要求同樣高。 45 167。 迭代過(guò)程的加速方法 有的迭代過(guò)程雖然收斂，但速度很慢，因此迭代過(guò) 程的加速是一個(gè)重要課題。 ? 二分法線性收斂 ? 不動(dòng)點(diǎn)迭代中 ， 若 ?’ (x*) ? 0，則 11 * ( ) ( * ) 39。( ) ( * ) 39。( )? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?k k k k ke x x x x x x e取極限得 1||l i m | 39。( * ) | 0||krkke xe ???? ??線性收斂 例如 : 46 設(shè) 是根 的某個(gè)近似值，用迭代公式校正一次得 ，而有微分中值定理，有 其中 介于 與 之間。 167。 迭代過(guò)程的加速方法 假設(shè) 改變不大，近似地取某個(gè)近似 ，則有 若將校正值 再校正一次，又得 0x *x10()xx??* * *1 0 0( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x? ? ? ??? ? ? ? ?*x 0x?()x?? L**10()x x L x x? ? ?10()xx??**21()x x L x x? ? ?埃特金 (Aitken)加速收斂方法 47 在兩式中消去 ，得到 由此推得： L **01**21xxxxx x x x?? ???22* 0 2 1 1 002 1 0 2 1 0()22x x x x xxxx x x x x x??? ? ?? ? ? ?在計(jì)算了 及 之后，可用上式右端作為 的新近似 記作 ，一般情形是由 計(jì)算 ， ，記 該方法稱為 埃特金加速方法 。 1x 2x *x1x kx 1kx? 2kx?21112()2kkkkk k kxxxxx x x?????????48 可以證明： 它表明序列 的收斂速度比 的收斂速度快。 21112() ( 0 , 1 , )2kkkkk k kxxx x kx x x?????? ? ???*1*l im 0kk kxxxx???? ??? ?kx ? ?kxAitken加速方法 ? Aitken 加速有 。 稱為 超線性收斂 . 1 *lim 0*kk kxxxx???? ?? 0||||lim 1 ???? kkk ee49 解： 例如：求方程 在 附近的根 3( ) 1 0f x x x? ? ? ?0 ? *x167。 加速迭代方法 — Aitken’Method 31 1kkxx? ??Aitken迭代公式為 : 21112() ( 0 , 1 , )2kkk kk k kxxx x kx x x?????? ? ???132 1kkxx ?? ??50 解： 例如：求方程 在 附近的根 3( ) 1 0f x x x? ? ? ?0 ? *x167。 加速迭代方法 — Aitken’Method Aitken程序 51 擴(kuò)展知識(shí)：解非線性方程組的牛頓法 1 1 22 1 212( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0nnnnf x x xf x x xf x x x???????? ??( ) 0Fx ?記 為 ：52 其中 F?(xk)為 F(x)在 xk處的 Jacobi矩陣： 1 1 1122 2 21212()nnn n nnf f fx x xf f fx x xFxf f fx x x? ? ?????? ? ???? ? ?????? ? ? ????????? ? ?????? ? ???11 ( ) ( )k k k kx x F x F x?? ??＝ 利用牛頓法將非線性方程組線性化， 得到： 53 2221( ) 23xyx y zF x x y z y xe z e??????? ? ? ???? ? ???2( ) 21xyy x zF x y z x z y x zee?????????????222123xyx y zx y z y xe z e? ???? ? ??? ? ? ??例：用牛頓法解方程組 54 N x y z 0 1 2 3 4 5 6 取初始值（ 1， 1， 1），計(jì)算如下：
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