希爾伯特23個(gè)問(wèn)題及解決情況-資料下載頁(yè)
2025-01-11 03:32本頁(yè)面
【正文】 面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果表面是 “ 單連通的 ” ，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，他提出三維球面 (四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體 )的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。 7 “ 千僖難題 ” 之四： 黎曼 (Riemann)假設(shè) 有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如， 2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素 數(shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程 z(s)=0 的所有有意義的解都在一條直線(xiàn)上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的 1,500,000,000 個(gè)解驗(yàn)證過(guò)。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明。 “ 千僖難題 ” 之五： 楊－米爾斯 (YangMills)存在性和質(zhì)量缺口 量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目 的關(guān)系。基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于 “ 夸克 ” 的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的 “ 質(zhì)量缺口 ” 假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿(mǎn)意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。 “ 千僖難題 ” 之六： 納維葉－斯托克斯 (NavierStokes)方程的存在性與光滑性 起伏的 波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是 19 世紀(jì)寫(xiě)下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。 “ 千僖難題 ” 之七： 貝赫 (Birch)和斯維訥通－戴爾 (SwinnertonDyer)猜想 數(shù)學(xué)家總是被諸如 x^2+y^2=z^2 那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。 歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這8 就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇 ()指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù) z(s)在點(diǎn) s=1 附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果 z(1)等于 0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn) (解 )，相反，如果 z(1)不等于 0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。
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