世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一----哥德巴赫猜想-資料下載頁
2025-01-11 02:39本頁面
【正文】 面有相同的基本群 (fundamental group)則必與 n 維球面同胚。經(jīng)過近 60 年后，西元 1961 年，美國數(shù)學(xué)家斯麥爾（ Smale）以巧妙的方法，他忽略三維、四維的困難，直接證明五維 (n5)以上的 ≥廣義龐加萊臆測(cè)，他因此 獲得 西元 1966 年的費(fèi)爾茲獎(jiǎng)。經(jīng)過 20 年之后，另一 個(gè)美國數(shù)學(xué)家佛瑞曼（ Freedman）則證明了四維的龐加萊臆測(cè)，并於西元 1986 年因?yàn)檫@個(gè)成就獲得費(fèi)爾茲獎(jiǎng)。但是對(duì)於我們真正居住的三維空間 (n3)，在當(dāng)時(shí)仍然是一個(gè)未解之謎。一直到西元 2022 年 4 月，俄羅斯數(shù)學(xué)家斐雷曼（ Perelman）於麻省理工學(xué)院做了三場(chǎng)演講，在會(huì)中他回答了許多數(shù)學(xué)家的疑問，許多跡象顯示斐雷曼可能已經(jīng)破解龐加萊臆測(cè)。數(shù)天后「紐約時(shí)報(bào)」首次以「俄國人解決了著名的數(shù)學(xué)問題」為題向公眾披露此一消息。同日深具影響力的數(shù)學(xué) 網(wǎng) 站 MathWorld 刊出的頭條文章為「龐加萊臆測(cè)被證明了，這次是真的！」 [14]。數(shù)學(xué)家們的審查將到 2022 年才能完成，到目前為止，尚未發(fā)現(xiàn)斐雷曼無法領(lǐng)取克雷數(shù)學(xué)研究所之百萬美金的漏洞。 戴爾臆測(cè)（ Birch and SwinnertonDyerConjecture）一般的橢圓曲線方程式 y^2=x^3+ax+b ，在計(jì)算橢圓之弧長時(shí)就會(huì)遇見這種曲線。自 50 年代以來，數(shù)學(xué)家便發(fā)現(xiàn)橢圓曲線與數(shù)論、幾何、密碼學(xué)等有著密切的關(guān)系。例如：懷爾斯（ Wiles）證明費(fèi)馬最后定理，其中一個(gè)關(guān)鍵 步驟就是用到橢圓曲線與模形式 (modularform)之關(guān)系－即谷山 志村猜想，白之與斯溫納頓 戴爾臆測(cè)就是與橢圓曲線有關(guān)。 60 年代英國劍橋大學(xué)的白之與斯溫納頓 戴爾利用電腦計(jì)算一些多項(xiàng)式方程式的有理數(shù)解。通常會(huì)有無窮多解，然而要如何計(jì)算無限呢？其解法是先分類，典型的數(shù)學(xué)方法是同余(congruence)這個(gè)觀念并藉此得同余類 (congruence class)即被一個(gè)數(shù)除之后的余數(shù)，無窮多個(gè)數(shù)不可能每個(gè)都要。數(shù)學(xué)家 自然 的選擇了質(zhì)數(shù)， 所以這個(gè)問題與黎曼猜想之 Zeta 函數(shù)有關(guān)。經(jīng)由長時(shí)間大量的計(jì)算與資料收集，他們觀察出一些規(guī)律與 模式 ，因而提出這個(gè)猜測(cè)。他們從電腦計(jì)算之結(jié)果斷言：橢圓曲線會(huì)有無窮多個(gè)有理點(diǎn)，若且唯若附於曲線上面的 Zeta 函數(shù) ζ (s) = 時(shí)取值為 0，即 ζ (1)；當(dāng) s1= 0 (Hodge Conjecture) 「任意在非奇異投影代數(shù)曲體上的調(diào)和微分形式，都是代數(shù)圓之上同調(diào)類的有理組合?！棺詈蟮倪@個(gè)難題，雖不是千禧七大難題中最困難 的問題，但卻可能是最不容易被一般人所了解的。因?yàn)槠渲杏刑喔呱顚I(yè)而且抽象參考資料：《數(shù)學(xué)的 100 個(gè)基本問題》《數(shù)學(xué)與 文化 》《希爾伯特 23 個(gè)數(shù)學(xué)問題回顧》
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