【正文】 ，得 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) .O C O B O C O A BC AC AB? ? ? ? ? ? 又 314OB OA AB? ? ?， ， ? ?3. 0 , 3 .OCC??? 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是 l 1l 2xyEDKFB ACO（第 24 題） 24 由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 ? ?? ?1 3 .y a x x? ? ?把 ? ?C0 3， 代入函數(shù)解析式得?? 所以拋物線的函數(shù)解析式為 ? ?? ?3 1 3 .3y x x? ? ? ? （ 2）解法 1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 .KD DE EF?? 理由如下： 可求得直線 1l 的解析式為 33yx?? ? ，直線 2l 的解析式為 3 33yx??，拋物線的對(duì)稱軸為直線 1x?? .由此可求得點(diǎn) K 的坐標(biāo)為 ? ?1,2 3? ，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 431,3???????，點(diǎn) E的坐標(biāo)為 231,3???????，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ? ?1,0? . 2 3 2 3 2 3,3 3 D D E EFK D D E EF? ? ? ?? ? ?， 解法 2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為 .KD DE EF?? 理由如下： 由題意可知 R t 30 60ABC ABC C AB? ? ? ? ? ?中 ， ， ，則可得 23ta n 3 0 = ta n 6 0 = 2 33E F B F K F A F? ? ? ? ? ?，. 由頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為431, 3???????得 433DF? , 23 .3K D D E E F? ? ? ? (3)解法 1：（ i）以點(diǎn) K 為 圓心，線段 KC 長(zhǎng)為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn) 1M ，由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn) 1M 為點(diǎn) C 關(guān)于直線 1x?? 的對(duì)稱點(diǎn) . ?所以點(diǎn) 1M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3)? ，此時(shí) , 1MCK 為等腰三角形 . （ ii）當(dāng)以點(diǎn) C 為圓心，線段 KC 長(zhǎng)為半徑畫圓弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn) 1M 和點(diǎn) A ，而三 25 點(diǎn) A C K、 、 在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 . （ iii）作線段 KC 的中垂線，由點(diǎn) D 是 KE 的中點(diǎn)，且 12ll? ，可知經(jīng)過點(diǎn) D ， .KD DC?? 此時(shí)，有點(diǎn) 2M 即點(diǎn) D 坐標(biāo)為 43( 1, )3? ，使 2MCK 為等腰三角形 . 與拋物線的另一交點(diǎn)即為 1M 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 43( 2, 3 ), ( 1, )3??時(shí)， MCK 為等腰三角形 解法 2：當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)分別為 理 由如下： （ i）鏈接 BK ，交拋物線于點(diǎn) G ，易知點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 ( 2, 3)? . 又 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0, 3) ，則 // .GC AB 可求得 4AB BK??，且 60ABK? ? ? ，即 ABK? 為正三角形 . CGK?? 為正三角形 ?當(dāng) 2l 與拋物線交于點(diǎn) G ，即 2//l AB 時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn) 1M 的坐標(biāo)為 ( 2, 3)? （ ii）連接 CD ，由 23 2 3 03K D C K C G C K D? ? ? ? ? ?， ，易知 KDC? 為等腰三角形 當(dāng) 2l 過拋物線頂點(diǎn)于點(diǎn) D 時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn) 2M 的坐標(biāo)為 43( 1, )3? . （ iii）當(dāng)點(diǎn) M 在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合時(shí)，滿足 CM CK? ，但此時(shí)，三點(diǎn) A C K、 、 在同一直線上，不能構(gòu)成三角形 . 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)分別為 43( 2, 3 ), ( 1, )3??時(shí)， MCK? 為等腰三角形 . 14. (2022 浙江紹興， 24， 14 分 )拋物線 21 ( 1) 34yx? ? ? ?與 y 軸交于點(diǎn) A ，頂點(diǎn)為 B ，對(duì)稱軸 BC 與 x 軸交于點(diǎn) C . （ 1）如圖 1，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)及線段 OC 的長(zhǎng)； （ 2）點(diǎn) P 在拋物線上，直線 //PQ BC 交 x 軸于點(diǎn) Q ，連接 BQ . ①若含 45176。角的直線三角板如圖 2所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與 C 重合，直角頂點(diǎn) D 在 BQ上，另一頂點(diǎn) E 在 PQ 上，求直線 BQ 的函數(shù)解析式； 26 ②若含 30176。角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn) C 重合，直角頂點(diǎn) D 在直線 BQ 上，另一個(gè)頂點(diǎn)E 在 PQ 上，求點(diǎn) P 的坐標(biāo) . xyBACO xyEQBACOPD 【答案】解：（ 1）把 0x? 代入 21 ( 1) 34yx? ? ? ?得 114y? ， ?點(diǎn) 11(0, )4A ， BC 為對(duì)稱軸， (1,3)B ， 1OC??. （ 2） ①如圖 1，過點(diǎn) D 作 DM x? 軸，交 x 軸于點(diǎn) M ， 過點(diǎn) D 作 DN PQ? ，交 PQ 于點(diǎn) N ， //PQ BC 90DM Q DN Q M DN? ? ? ? ? ? ? ? ?四邊形 MDNQ 為矩形， 90 ,,C D E M D NC D M E D ND C D ED C M D E ND M D N? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ?四邊形 MDNQ 為正方形， 45DQC?? ? ?， BCQ?? 為等腰直角三角形， 34CQ BCOQ? ? ??? ， 第 24 題圖 1 第 24 題圖 2 27 設(shè)直線 BQ 的函數(shù)解析式為 y kx b??， 直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1,3), (4,0)BQ， 代入求得 1, 4kb?? ? ， ?直線 BQ 的函數(shù)解析式為 4yx?? ? . ②當(dāng)點(diǎn)PDMx?xDNPQ?PQ (,0)Qm90,R t R t , ,/ / , ,31,C D M M D E ED N M D EC D M ED NC D D MC D M ED ND E D NC D D MD N M QD E M QD M BCPQ BCM Q C QCDD E m? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??????， 15. （ 2022 浙江臺(tái)州， 24,14 分） 已知拋物線 nmxay ??? 2)( 與 y 軸交于點(diǎn) A，它的頂點(diǎn)為 B，點(diǎn) A、 B關(guān)于原點(diǎn) O的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn) C、 D。若點(diǎn) A、 B、 C、 D中任何三點(diǎn)都不在一直線上，則稱四邊形 ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線 AB 為拋物線的伴隨直線。 （ 1）如圖 1，求拋物線 1)2( 2 ??? xy 的伴隨直線的解析式； （ 2）如圖 2，若 nmxay ??? 2)( （ m0）的伴隨直線是 y=x－ 3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式； （ 3）如圖 3，若拋物線 nmxay ??? 2)( 的伴隨直線是 y=－ 2x+b（ b0），且伴隨四邊形 ABCD是矩形。 ① 用含 b的代數(shù)式表示 m,n的值； ② 在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) P，使得△ PBD 是一個(gè)等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P的坐標(biāo)（用含 b的代數(shù)式）；若不存在，請(qǐng)說明理由。 28 【答案】解： (1)設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+，得 :A(0， 5)， B(2， 1) ∴??? ??? 12 5bkb ∴k= 2 ,b=5 ∴ 直線 AB的解析式為 y=2x+5 (2) 由伴隨直線是 y=x－ 3，得： A(0， 3)， C(0， 3) ∴ AC=6 由伴隨四邊形的面積為 12，得： △ABC 的面積為 6= mAC??21 ∴m=177。2 ∵m0 ∴m=2 當(dāng) m=2時(shí)， y=1，頂點(diǎn)為（ 2， 1）， 且過點(diǎn) C（ 0， 3） ∴ 拋物線的解析式為 y= 1)2(21 2 ??? x 。 (3) ① 如圖， 作 BE⊥x 軸， 由題意，得： A（ 0,b） ,C (0,b) ∵ 拋物線的頂點(diǎn) B（ m,n）在 y=－ 2x+b（ b0）上， ∴n= 2m+b B(m, 2m+b) 在矩形 ABCD中， OC=OB ∴OC 2=OB2 29 即： 222 )b2m( ??? mb ∴m(5m 4b)=0 ∴m 1=0(舍去 )， m2= b54 ∴n= 2m+b= b53 ∴ bm 54? , bn 53? ； ② 存在，有 4 個(gè)點(diǎn)： ( b54 ， b57 ),( b54 ， b59 ),( b54 ， b1516 ),( b54 ，b513? ) 16. （ 2022浙江義烏， 24， 12分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 A（ 2， 0）、 C(0， 12) 兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線 x=4. 設(shè)頂點(diǎn)為 點(diǎn) P，與 x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn) B. （ 1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 2）如圖 1，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn) D，使四邊形 OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3）如圖 2，點(diǎn) M是線段 OP 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ O、 P兩點(diǎn)除外），以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn) P 向點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) M 作直線 MN∥ x 軸，交 PB 于點(diǎn) N. 將△ PMN 沿直線MN對(duì)折，得到△ P1MN. 在動(dòng) 點(diǎn) M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△ P1MN與梯形 OMNB 的重疊部分的面積為 S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒 . 求 S關(guān)于 t的函數(shù)關(guān)系式 . 【答案】 （ 1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y=ax2+bx+c 由題意得?