基本復(fù)習(xí)題word版-資料下載頁
2025-01-09 18:56本頁面
【正文】 , r??? ?； …… ；mmrmm ??? , 21 ?線性無關(guān) . 定理 設(shè) n 階方陣 A = (a ij) 的特征值為 λ1 , λ2, … , λn，則有 (1) λ1 + λ2 + … + λn = a11 + a22 + … + ann () (2) λ1λ2 … λn = |A| () 定理 設(shè) A為 n 階方陣 , ? (A) = a0I + a1A + amAm， 若 λ 為 A的特征值 , 則 ? (λ) = a0 + a1λ + … + am λm是? (A)的特征值 . 定理 若 n 階方陣 A與 B相似 , 則它們具有相同的特征多項(xiàng)式和特征值 . 性質(zhì) 若 n 階方陣 A 與 B 相似 , 則 (1) ?AB, (2) tr tr?AB. 定理 n 階矩陣 A與 n 階對角陣 12n????????????? 相似的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 . 定理 推論 若 n 階矩陣 A 有 n 個(gè)相異的特征值 , 則 A 與對角陣相似 . 定理 n 階矩陣 A 與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個(gè) in 重特征值 i? 對應(yīng)著 in 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 . 定理 對任意 n 維向量 x和 y, 恒有 ? ?,xy yx?? . 定理 若 n 維向量組 ??? r, 21 ? 是正交向量組 , 則 ??? r, 21 ? 線性無關(guān) . 定理 設(shè) n 維向量組 ??? m, 21 ? 線性無關(guān)，令 ?1 =?1 ?2 =?2 －???????????? ????1112, ?1 ?3 =?3 －???????????? ????1113, ?1－???????????? ????2223, ?2 ? ?m =?m －???????????? ????111,m ?1－???????????? ????222,m ?2－ … －????????????????? ??111,mmmm ?1?m 則得到的 ??? m, 21 ? 是正交向量組，且與 ??? m, 21 ? 等價(jià)。 上述定理 從線性無關(guān)組 ??? m, 21 ? 導(dǎo)出正交向量組 ??? m, 21 ? 的過程稱為 施密特 (Schmidt)正交化過程 。它不僅滿足 12, , , m?? ? 與 12, , , m?? ? 等價(jià) , 還滿足 :對任何 )1( mkk ?? , 向量組 ??? k, 21 ? 與 ??? k, 21 ? 等價(jià)。 定理 方陣 A是正交矩陣充分必要條件為 A的列 (行 )向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 . 定理 正交變換不改變向量的內(nèi)積 , 從而不改變向量的模 , 夾角和距離 . 定理 實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) . 定理 設(shè) λ1, λ2是 實(shí) 對稱矩陣 A的兩個(gè)特征值 , P1, P2是對應(yīng)的特征向量 . 若 λ1 ≠ λ2, 則 P1與 P2正交 . 定理 若 λi是實(shí)對稱矩陣 A的 k 重特征值 , 則存在 k 個(gè)屬于 λi的線性無關(guān)的特征向量 . 定理 設(shè) A為 n 階實(shí)對稱矩陣 , 則必有正交矩陣 P，使 P?1AP = ? = ????????????n????21 其中 λ1, λ2, … , λn是 A的特征值 . 定理 任給可逆矩陣 C, 令 B = CTAC, 如果 A為對稱矩陣 , 則 B亦為對稱矩陣 , 且 R(B) = R(A). 定理 任給二次型 f (x ) =x TAx , 總有正交變換 x = Py, 使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形 f = λ1y12 + λ2y22 + … + λnyn2, 其中 ??? n, 21 ? 為 A的 全部 特征值。 定理 實(shí)二次型 f =x TAx 為正定的的充分必要條件是 : 它的標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)系數(shù)全為正。 定理 若 A是 n 階實(shí)對稱矩陣 , 則下列命題等價(jià) : (1) x TAx 是正定二次型 (或 A是正定矩陣 )。 (2) A的正慣性指標(biāo)為 n. (3) 存在可逆陣 P, 使得 A = PTP. (4) A的 n 個(gè)特征值 ??? , 21 n? 全大于零 . 定理 (霍爾維茨 ) (1)對稱矩陣 A正定 的充分必要條件是 A的各階主子式都為正 , 即 11a 0, 11 1221 22aa0, …, 11 11nn nnaaaa0 (2)對稱矩陣 A負(fù)定的充分必要條件是 : 奇數(shù)階主子式為負(fù) , 偶數(shù)階主子式為正 . 即 )1r(? 11 11rr rraaaa0 , (r = 1, 2, … , n).
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