【正文】 =奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊木牌的距離是偶數(shù)。 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1 9 2 8 7 4 3 6 5 13．如圖所示，一個(gè)圓周上有 9 個(gè)位置，依次編為 1~9號(hào) .現(xiàn) 在有一個(gè)小球在 1 號(hào)位置上。第一天順時(shí)針前進(jìn) 10 個(gè)位置 ,第二天逆時(shí)針前進(jìn) 14個(gè)位置。以后 ,第奇數(shù)天與第一天相同 ,順時(shí)針前進(jìn) 10個(gè)位置 ,第偶數(shù)天與第二天相同 ,逆時(shí)針前 進(jìn) 14 個(gè)位置。問(wèn) :至少經(jīng)過(guò)多少天 ,小球又回到 1 號(hào)位置。 答案：順時(shí)針前進(jìn) 10 個(gè)位置 ,相當(dāng)于順時(shí)針前進(jìn) 1 個(gè)位置；逆時(shí)針前進(jìn) 14 個(gè)位置，相當(dāng)于順時(shí)針前進(jìn) 1814=4（個(gè)）位置。所以原題相當(dāng)于 :順時(shí)針每天 1 個(gè)位置 ,4 個(gè)位置交替前進(jìn) ,直到前進(jìn)的位置個(gè)數(shù)是 9的倍數(shù)為止。 偶數(shù)天依次前進(jìn)的位置個(gè)數(shù) : 5,10,15,20,25,30,35,40，?? 奇數(shù)天依次前進(jìn)的位置個(gè)數(shù)： 1， 6， 11， 16， 21， 26， 31， 36 ， 41，?? 第 15天前進(jìn) 36個(gè)位置 ， 36天是 9 的倍數(shù)，所以第 15 天又回到 1號(hào)位置。 八 周期性問(wèn)題 （一）填空題 1. 某年的二月份有五個(gè)星期日，這年六月一日是星期 _____。 答案：二。 解析：因?yàn)?7?4=28，由某年二月份有五個(gè)星期日，所以這年二月份應(yīng)是 29 天，且 2 月1 日與 2月 29 日均為星期日， 3 月 1 日是星期一，所以從這年 3 月 1 日起到這年 6 月 1日共經(jīng)過(guò)了 31+30+31+1=93(天 )。 因?yàn)?93 7=13? 2，所以這年 6 月 1日是星期二。 2. 1989年 12 月 5日是星期二 ,那么再過(guò)十年的 12月 5 日是星期 _____。 答案：日。 解析：依題意知，這十年中 1992 年、 1996年都是閏年，因此，這十年之中共有 365?10+2=3652（天）。 因?yàn)?3652? 7=521? 5， 1989 年 12月 5 日是星期二所以再過(guò)十年的 12 月 5 日是星期日。 3. 按下面擺法擺 80 個(gè)三角形 ,有 _____個(gè)白色的。 ?? 答案： 39。 解析：從圖中可以看出 ,三角形按“二黑二白一黑一白”的規(guī)律重復(fù)排列，也就是這一排列的周期為 6，并且每一周期有 3個(gè)白色三角形。 因?yàn)?80? 6=13? 2，而第十四期中前兩個(gè)三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13?3=39（個(gè)）。 4．節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每?jī)蓚€(gè)白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈 .也就是說(shuō) ,從第一盞白燈起 ,每一盞白燈后面都緊接著有 3 盞彩燈 ,小明想第 73 盞燈是 _____燈。 答案：白。 解析：依題意知 ,電燈的安裝排列如下 :白 ,紅 ,黃 ,綠 ,白 ,紅 ,黃 ,綠 ,白 ,??這一排列是按“白，紅，黃，綠”交替循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為 4。 由 73? 4=18? 1,可知第 73盞燈是白燈。 5. 時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是 14 時(shí)正 ,那么分針旋轉(zhuǎn) 1991 周后 ,時(shí)針表示的時(shí)間是 ____。 答案： 13時(shí)。 解析：分針旋轉(zhuǎn)一周為 1 小時(shí) ,旋轉(zhuǎn) 1991 周為 1991 小時(shí)。一天 24 小時(shí) ,1991? 24=82?23， 1991 小時(shí)共 82天又 23 小時(shí) .現(xiàn)在是 14時(shí)正 ,經(jīng)過(guò) 82天仍然是 14時(shí)正 ,再過(guò) 23 小時(shí) ,正好是 13 時(shí)。 [注 ]在圓面上 ,沿著圓周把 1到 12的整數(shù)等距排成一個(gè)圈 ,再加上一根長(zhǎng)針和一根短針 ,就組成了我們天天見(jiàn)到的鐘面。鐘面雖然是那么的簡(jiǎn)單平常 ,但在鐘面上卻包含著十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題 ,周期現(xiàn)象就是其中的一個(gè)重要方面。 6. 把自然數(shù) 1,2,3,4,5??如表依次排列成 5 列，那么數(shù)“ 1992”在 _____列。 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 答案： 3。 解析：仔細(xì)觀察題中表格。 1 2 3 4 5 (奇數(shù)排 ) 第一組 9 8 7 6 (偶數(shù)排 ) 10 11 12 13 14 (奇數(shù)排 ) 第二組 18 17 16 15 (偶數(shù)排 ) 19 20 21 22 23 (奇數(shù)排 ) 第三組 27 26 25 24 (偶數(shù)排 ) 可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下 : (1)連續(xù)自然數(shù)按每組 9 個(gè)數(shù) ,且奇數(shù)排自左往右五個(gè)數(shù) ,偶數(shù)排自右往左四個(gè)數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列； (2)觀察第二組 ,第三組 ,發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用 9 除有如下規(guī)律 :第 1列用 9除余數(shù)為 1,第 2 列用 9 除余數(shù)為 2,?，第 5列用 9 除余數(shù)為。 (3)10? 9=1? 1， 10在 1+1 組，第 1列 19? 9=2? 1， 19在 2+1 組，第 1列 因?yàn)?1992? 9=221? 3，所以 1992 應(yīng)排列在（ 221+1） =222 組中奇數(shù)排第 3 列數(shù)的位置上。 7. 把分?jǐn)?shù) 74 化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)第 110位上的數(shù)字是 _____。 答案： 7。 解析： 74 =?? 它的循環(huán)周期是 6，具體地六個(gè)數(shù)依次是： 5， 7， 1， 4， 2， 8 110? 6=18? 2 因?yàn)橛?2，第 110 個(gè)數(shù)字是上 面列出的六個(gè)數(shù)中的第 2個(gè)，就是 7。 （二）解答題 8. 緊接著 1989后面一串?dāng)?shù)字，寫下的每個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù) .例如 8?9=72,在 9 后面寫 2,9?2=18,在 2后面寫 8,??得到一串?dāng)?shù)字 : 1 9 8 9 2 8 6?? 這串?dāng)?shù)字從 1 開(kāi)始往右數(shù)，第 1989 個(gè)數(shù)字是什么？ 答案：依照題述規(guī)則多寫幾個(gè)數(shù)字 :1989286884286884?? 可見(jiàn) 1989 后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復(fù)出現(xiàn) 286884，每 6個(gè)一組，即循環(huán)周期為 (19894)? 6=330? 5，所以所求數(shù)字是 8。 9. 1991 個(gè) 1990相乘所得的積與 1990個(gè) 1991 相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？ 答案： 1991個(gè) 1990相乘所得的積末尾兩位是 0,我們只需考察 1990 個(gè) 1991相乘的積末尾兩位數(shù)即可。 1個(gè) 1991 末兩位數(shù)是 91,2個(gè) 1991 相乘的積末尾兩位數(shù)是 81,3 個(gè) 1991相乘的積末尾兩位數(shù)是 71,4 個(gè)至 10個(gè) 1991 相乘的積的末兩位數(shù)分別是61,51,41,31,21,11,01,11 個(gè) 1991相乘積的末兩位數(shù)字是 91，??，由此可見(jiàn)，每 10個(gè) 1991相乘的末兩位數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，即周期為 10。因?yàn)?1990? 10=199,所以 1990個(gè) 1991相乘積的末兩位數(shù)是 01,即所求結(jié)果是 01。 14．在一根長(zhǎng) 100厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，同時(shí)自右至左每隔5 厘米也染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)處將木棍逐段鋸開(kāi)，那么長(zhǎng)度是 1 厘米的短木棍有多少根？ 答案：因?yàn)?100能被 5 整除 ,所以自右至左染色也就是自左至右染色 .于是我們可以看作是從同一端 點(diǎn)染色。 6 與 5 的最小公倍數(shù)是 30,即在 30 厘米的地方 ,同時(shí)染上紅色 ,這樣染色就會(huì)出現(xiàn)循環(huán) ,每一周的長(zhǎng)度是 30厘米 ,如下圖所示。 由圖示可知長(zhǎng) 1厘米的短木棍 ,每一周期中有兩段 ,如第 1周期中 ,65=1,5?56?4=1。剩余 10 厘米中有一段。所以鋸開(kāi)后長(zhǎng) 1厘米的短木棍共有 7 段 .綜合算式為 : 2?[(10010)? 30]+1 =2?3+1 =7(段 )。 [注 ]解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔 5 厘米的染色 ,轉(zhuǎn)化為自左向右的染色 ,便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象 ,化難為易。 九 圖形的計(jì)數(shù) （一）填空題 1．下圖中一共有（ ）條線段。 . . . . . . 6 12 18 24 30 5 10 15 20 25 95 96 100 . 90 答案： 30 解析：圖形中每邊有 3+2+1=6（條）線段，因此整個(gè)圖形中共有 6?5=30 條線段。 2. 如下圖 ,O 為三角形 A1A6A12的邊 A1A12上的一點(diǎn) ,分別連結(jié) OA2,OA3,? OA11，這樣圖中共有 _____個(gè)三角形。 答案： 37。 解析：將△ A1A6A12分解成以 O