【正文】 BC=6a ,∴ 33BD BEBC BD??,∵∠DBE為公共角， ∴Δ BDE∽Δ BCD, ∴∠ BDE=∠ C,∴∠ C=30176。 ,∵ DE∥ AB,∴∠ DEC=∠ABC=60176。 , ∴∠ CDE=90176。 ,∴ ED⊥ DC. A D C B M BA DC圖 7 GEDCBA 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 9． （ 2022重慶綦江縣） 如圖，直角梯形 ABCD中， AD∥ BC，∠ A＝ 90176。 ， AB＝ AD＝ 6， DE⊥ DC交 AB于 E， DF平分∠ EDC交 BC于 F，連結(jié) EF． （ 1）證明： EF＝ CF； （ 2）當 tan∠ ADE＝ 13時，求 EF的長． FEDCBA 【答案】解：（ 1）如圖，過 D作 DG⊥ BC于 G，連結(jié) EF 由已知可得四邊形 ABGD為正方形 ∵ DE⊥ DC ∴∠ ADE＋∠ EDG＝ 90176。 ＝∠ GDC＋∠ EDG ∴∠ ADE＝∠ GDC 又∵∠ A＝∠ DGC且 AD＝ GD ∴△ ADE≌△ GDC ∴ DE＝ DC且 AE＝ GC 在△ EDF和△ CDF 中 ∠ EDF＝∠ CDF， DE＝ DC， DF 為公共邊 ∴△ EDF≌△ CDF（ SAS） ∴ EF＝ CF GFEDCBA （ 2）∵ tan∠ ADE＝ 13AEAD? ∴ AE＝ GC＝ 2 設(shè) EF＝ x，則 BF＝ 8－ CF＝ 8－ x， BE＝ 4 由勾股定理 x2＝ 28 x（ － ） ＋ 42 解得： x＝ 5，∴ EF＝ 5． 10．（ 2022 江蘇連云港） （本題滿分 10 分）如果一條直線把一個平面圖形的 面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．如，平行四邊形的一條對線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線． （ 1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有________； （ 2）如圖 1，梯形 ABCD中， AB∥ DC，如果延長 DC到 E，使 CE＝ AB，連接 AE，那么有 S梯形 ABCD＝ S△ ABE．請你給出這個結(jié)論成立的理由，并過點 A 作出梯形 ABCD 的面積等分 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) AD BAD EBAD CFEBAD DQFEBAD 圖 1 AD BAD CFEBAD DQFEBAD 圖 2 線（不寫作法，保留作圖痕跡）； （ 3）如圖，四邊形 ABCD中， AB 與 CD 不平行， S△ ADC＞ S△ ABC，過點 A能否作出四邊形 ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由． 【答案】 11．（ 2022 河北） 如圖 16，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， 90B? ? ? ， AD = 6， BC = 8，33?AB ，點 M是 BC 的中點．點 P從點 M出發(fā)沿 MB以每秒 1個單位長的速度向點 B 勻速運動，到達點 B后立刻以原速度沿 BM返回；點 Q從點 M出發(fā)以每秒 1個單位長的速度在射線 MC上勻速運動．在點 P， Q的運動過 程中，以 PQ為邊作等邊三角形 EPQ，使它與梯形 ABCD在射線 BC的同側(cè)．點 P， Q同時出發(fā)，當點 P返回到點 M時停止運動，點 Q也隨之停止． 設(shè)點 P， Q運動的時間是 t秒 (t＞ 0)． （ 1）設(shè) PQ的長為 y，在點 P從點 M向點 B運動的過程中，寫出 y與 t之間 的函數(shù)關(guān)系式（不必寫 t的取值范圍）． （ 2）當 BP = 1 時，求△ EPQ與梯形 ABCD重疊部分的面積． （ 3）隨著時間 t的變化，線段 AD 會有一部分被△ EPQ 覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能， 直接 ． ． 寫出 t的取值范圍；若不 能，請說明理由． 【答案】 解：（ 1） y = 2t； （ 2）當 BP = 1時，有兩種情形： ①如圖 6，若點 P從點 M向點 B運動，有 MB = BC21= 4， MP = MQ = 3， ∴ PQ = 6．連接 EM， ∵△ EPQ是等邊三角形，∴ EM⊥ PQ．∴ 33?EM． ∵ AB = 33，∴點 E在 AD上． ∴△ EPQ與梯形 ABCD重疊部分就是△ EPQ，其面 積為 39． ② 若 點 P 從點 B向點 M運動，由題意得 5?t． PQ = BM + MQ ?BP = 8， PC = 7．設(shè) PE 與 AD 交于點 F， QE 與 AD 或AD的 延長線 交于點 G，過點 P 作 PH⊥ AD 于點 H，則 HP = 33， AH = 1 ．在 Rt △ HPF 中，∠ HPF = 30176。， M A D C B P Q E 圖 16 A D C B （備用圖） M A D C B P M Q E F H G 圖 7 A D C B P M Q E 圖 6 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) ∴ HF = 3， PF = 6．∴ FG = FE = 2．又∵FD = 2， ∴點 G與點 D重合，如圖 7．此時△ EPQ與梯形 ABCD 的重疊部分就是梯形 FPCG，其面積為3227． （ 3）能． 4≤ t≤ 5． 12． （ 2022浙江湖州 ） 如圖，已知在梯形 ABCD中， DC∥ AB， AD＝ BC， BD 平分 ∠ ABC， ∠ A＝60176。 ， （ 1）求 ∠ ABD的度數(shù)； （ 2）若 AD＝ 2，求對角線 BD的長． 【答案】（ 1） ∵ DC∥ AB， AD＝ BC， ∴ 梯形 ABCD 是等腰梯形， ∴∠ ABC＝ ∠ A＝ 60176。 ，又∵ BD平分 ∠ ABC， ∴∠ ABD＝ ∠ CBD＝ 12 ∠ ABC＝ 30176。 ． （ 2） ∵∠ A＝ 60176。 ， ∠ ABD＝ 30176。 ， ∴∠ ADB＝ 90176。 ， ∴ AB＝ 2AD＝ 4， ∴ 對角線 BD＝224 2 2 3?? 13．（ 2022 山東濱州） 如圖，四邊形 ABCD中， E、 F、 G、 H分別是 AB、 BC、 CD、 DA的中點 . (1)請判斷四邊形 EFGH 的形狀？并說明為什么 . (2)若使四邊形 EFGH為正方形，那么四邊形 ABCD的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？ 【答案】 解： (1) 四邊形 EFGH為平行四邊形 .....................................1分 連接AC.............................................. ..............2分 ∵ E、 F分別是 AB、 BC 的中點， EF∥ AC， EF=21 AC. 同理 HG∥ AC， HG=21 AC. ∴ EF∥ HG, EF=HG. ∴四邊形 EFGH是平行四邊形 . .................... ..............4分 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) (2) 四邊形 ABCD的對角線垂直且相等 . 14．（ 2022廣東中山） 已知兩個全等的直角三角形紙片 ABC、 DEF，如圖（ 1）放置，點B、 D重合，點 F 在 BC上， AB 與 EF 交于點 G，∠ C=∠ EFB= 090 ，∠ E=∠ ABC= 030 ， AB=DE=4． （ 1） 求證：Δ EGB是等腰三角形； （ 2） 若紙片 DEF不動，問Δ ABC繞點 F逆時針旋轉(zhuǎn)最小 度時，四邊形 ACDE成 為以ED為底的梯形（如圖（ 2））．求此梯形的高． 【答案】 （ 1）證明：在 RtΔ EFB中，∠ E= 030 ∴∠ EBF= 060 又∵∠ ABC= 030 ∴∠ EBG=∠ E= 030 ∴ EG=BG ∴Δ EGB是等腰三角形 （ 2）解：答案填 30， 設(shè) CB交 DE于點 M，當∠ BFD= 030 時， ∠ FMD= 090 所以， AC∥ DE， 即四邊形 ACDE成為以 ED為底的梯形 在 RtΔ ABC和 RtΔ DEF中，∠ E=∠ ABC= 030 ， AB=DE=4， ∴ BC= 32 ， DF=2 ∴ CF= 32 2 在 RtΔ FDM中，求得 FM= 3 ∴ CM= 32 2+ 3 = 33 2 故梯形的高為 33 2． 15．（ 2022湖北荊州） 如圖，直角梯形 OABC的直角頂點 O是坐標原點，邊 OA， OC分別在 x軸、 y 軸的正半軸上， OA∥ BC， D 是 BC 上一點， BD=41 OA= 2 ， AB=3，∠ OAB=45176。， E、 F分別是線段 OA、 AB上的兩動點，且始終保持∠ DEF=45176。． （ 1） 直接寫出 ． ． ． ． D點的坐標； （ 2）設(shè) OE=x， AF=y， 試確定 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系； （ 3）當△ AEF 是等腰三角形時，將△ AEF 沿 EF 折疊，得到△ EFA? ，求△ EFA? 與五邊形 OEFBC重疊部分的面積． 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 【答案】解：（ 1） D點的坐標是 )223,223( . （ 2）連結(jié) OD,如圖（ 1）， 由結(jié)論（ 1）知： D在∠ COA 的平分線上，則 ∠ DOE=∠ COD=45176。 ,又在梯形 DOAB中，∠ BAO=45176。 ,∴ OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠ 1=∠ DEA45176。 ,又∠ 2=∠ DEA45176。 ∴∠ 1=∠ 2, ∴△ ODE∽△ AEF ∴ AEODAFOE? ，即：xyx ?? 24 3 ∴ y與 x的解析式為： xxy 32431 2 ??? （ 3）當△ AEF 為等腰三角形時，存在 EF=AF 或 EF=AE 或 AF=AE 共 3 種情況 . ① 當 EF=AF時，如圖（ 2） . ∠ FAE=∠ FEA=∠ DEF=45176。 , ∴△ AEF為等腰直角三角形 .D在 A’ E上（ A’ E⊥ OA） , B在 A’ F上（ A’ F⊥ EF） ∴△ A’ EF與五邊形 OEFBC 重疊的面積為 四邊形 EFBD的面積 . ∵ 22522324 ??????? CDOAOEOAAE ∴ 25222 2545s in 0 ????? AEAF 中 考網(wǎng) 中國最大的教育門戶網(wǎng)站 中 考網(wǎng) 825)25(21AFEF21S 2A E F ?????? ∴ 4212 23)2252(21DEA E )(BD21A E D B ????????梯形S ∴ 817825421SSSA E FA E D BB D E F ??? ?梯形四邊形（也可用 BDA39。EFA39。 SSS ???陰影 ） ②當 EF=AE時，如圖（ 3）， 此時△ A’ EF 與五邊形 OEFBC重疊部分面積為△ A’ EF 面積 . ∠ DEF=∠ EFA=45176。， DE∥ AB ， 又 DB∥ EA ∴四邊形 DEAB是平行四邊形 ∴ AE=DB= 2 ∴ EFAE21SSA E FEFA39。 ??? ?? 1)2(21S 2EFA / ???? ③當 AF=AE時，如圖（ 4），四邊形 AEA’ F為菱形且△ A’ EF 在五邊形 OEFBC內(nèi) . ∴此時△ A’ EF 與五邊形 OEFBC重疊部分面積為△ A’ EF面積 . 由（ 2）知△ ODE∽△ AEF,則 OD=OE=3 ∴ AE=AF=OAOE= 324 ? 過 F作 FH⊥ AE于 H,則 ? ? 2 2342232445s in ???????? AFFH ∴ ? ?4 482412 23432421FHAE21SS A E FEFA39。 ??????????????? ?? 綜上所述，△ A’ EF與五邊形 OEFBC重疊部分的面積為 817 或 1或 4 48241 16．（ 2022 湖北省咸寧 ） 如圖，直角梯形 ABCD中， AB∥ DC， 90DAB? ? ? ， 24AD DC??，6AB? ．動點