【正文】 量 P 的解析空間為[ ], , 1, ..., ,ije i j j n??ije 表示 (, )ij ， , 1,...,i j j n?? 的一定排列形式，就可得到其標(biāo)準(zhǔn)形式。 LMI 標(biāo)準(zhǔn)化問 題 1. 嚴(yán)格 LMI可行性問題 (LMIP):尋找 mxR? 使得 ( ) 0Fx? 或確定這樣的 mxR? 不 存在。 2. 含 LMI約束的線性規(guī)劃問題，又稱特征值問題 (EVP): min Tcx ..st ( ) 0Fx? （ ） 3. 含 LMI約束的廣義特征值問題 (GEVP): min ? ..st ( ) ( ) 0( ) 0( ) 0B x A xBxCx? ????????? （ ） 其中 A(x),B(x),C(x)為依賴于 x的仿射矩陣函數(shù)。不難看出，這個(gè)問題又可表述為 min max ( ( ), ( ))A x B x? ..st ( ) 0, ( ) 0B x C x?? （ ） 其中 max( , )XY? 表示矩陣約束 YX? ? 的最大廣義特征值，也即矩陣 1/2 1/2Y XY??的最大特征值。 Schur 補(bǔ)充法 通過 Schur 補(bǔ)充法，凸道德非線性不等式能夠轉(zhuǎn)化為 LMI，其中思想如下： LMI ( ) ( ) 0( ) ( )TQ x S xS x R x??????? （ ） 當(dāng) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )TTQ x Q x R x R x S x??放射依賴于 x 時(shí)，等于 1( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) 0TR x Q x S x R x S x?? ? ? （ ） 第 2 章 預(yù)備知識 12 換句話說，就是非線性不等式集（ ）能夠用 LMI（ ）來表達(dá)。 時(shí)滯系統(tǒng) 時(shí)滯對象、時(shí)滯控制與時(shí)滯系統(tǒng)概述 時(shí)滯是指信號 傳輸?shù)难舆t。從頻率特性的角度來說，它是指相頻特性對頻率導(dǎo)數(shù)的負(fù)值 [49,50]。 .時(shí)滯是自然界中廣泛存在的一種物理現(xiàn)象，例如帶式運(yùn)輸機(jī)中物料傳輸?shù)难舆t，衛(wèi)星通訊中信號傳遞的延遲，原水多級泵送系統(tǒng)中水流傳輸?shù)难舆t等等，都是典型的時(shí)滯現(xiàn)象。 時(shí)滯對象是指含有固有時(shí)滯特性的控制對象，如前所述帶式運(yùn)輸機(jī)、衛(wèi)星通訊系統(tǒng)、原水多級泵送系統(tǒng)等都是典型的時(shí)滯對象。 時(shí)滯有時(shí)是對象固有的，如時(shí)滯對象中的時(shí)滯；有時(shí)是在無意識中引入系統(tǒng)的，如采樣控制系統(tǒng)中采樣保持器的引入便無意識地引入了時(shí)滯。對象固有的時(shí)滯給系統(tǒng)分析和控制器的設(shè) 計(jì)帶來了很大的困難。時(shí)滯對象被認(rèn)為是最難控制的對象 [51,52]。如何抑制對象固有時(shí)滯造成的系統(tǒng)性能下降得到了相當(dāng)多的研究 [53]。然而，任何事物都有其兩面性，時(shí)滯也不例外。如何發(fā)掘時(shí)滯潛在的優(yōu)點(diǎn)，有意識地、合理地利用時(shí)滯來改善系統(tǒng)的控制性能是一個(gè)值得深入研究的課題。這就是時(shí)滯控制的研究內(nèi)容。 時(shí)滯系統(tǒng)是指內(nèi)部含有時(shí)滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。時(shí)滯控制系統(tǒng)和時(shí)滯對象系統(tǒng)都屬于時(shí)滯系統(tǒng)的范疇。時(shí)滯系統(tǒng)可以由時(shí)滯微分方程來描述。 時(shí)滯對象的控制器中可以包含時(shí)滯環(huán)節(jié)，也可以不包含時(shí)滯環(huán)節(jié) 。非時(shí)滯對象也是如此，如圖 所示。 圖 時(shí)滯系統(tǒng) 從圖 可以看出，時(shí)滯系統(tǒng)有三種類型 : 1. 時(shí)滯控制器控制時(shí)滯對象； 第 2 章 預(yù)備知識 13 2. 非時(shí)滯控制器控制時(shí)滯對象； 3. 時(shí)滯控制器控制非時(shí)滯對象。 時(shí)滯控制的主要研究內(nèi)容 控制系統(tǒng)由控制對象 、 (反饋 )控制器、傳感器及濾波器組成，其一般結(jié)構(gòu)如圖 所示。時(shí)滯控制的研究在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中。尤其是反饋控制器、濾波器的設(shè)計(jì)兩方面得到了相當(dāng)?shù)闹匾暋? 在反饋控制器設(shè)計(jì)方面的研究主要有兩個(gè)分支：一是麻省理工學(xué)院 YoucefToumi 教授為首的研究人員提出的時(shí)滯控制 方案 [54]，最初稱為基于時(shí)滯的模型參考控制 [55,56,57]，之后被稱為時(shí)滯控制。這一方案主要是利用時(shí)滯來觀測和估計(jì)系統(tǒng)的不確定性因素及外部干擾，從統(tǒng)一的角度出發(fā)，本文將稱之為時(shí)滯觀測器，或者基于時(shí)滯的觀測器。另一個(gè)分支是以中野道雄為首的日本學(xué)者提出的重復(fù)控制方案 [58,59]。該方案將時(shí)滯引入到控制器之中構(gòu)成重復(fù)補(bǔ)償器，利用時(shí)滯環(huán)節(jié)的記憶性實(shí)現(xiàn)重復(fù)學(xué)習(xí)，使得系統(tǒng)能夠無穩(wěn)態(tài)靜差地跟蹤一定周期的任意目標(biāo)信號，本文將之稱為時(shí)滯學(xué)習(xí)控制或者基于時(shí)滯的學(xué)習(xí)控制器。 圖 控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu) 時(shí)滯觀測器 非線性 、 不確定性、干擾是存在于現(xiàn)實(shí)世界中的普遍現(xiàn)象。對于非線性系統(tǒng)，目前常用的控制方法是將對象在工作點(diǎn)附近直接線性化或反饋線性化 [60]后實(shí)施控制，對于大范圍的非線性系統(tǒng)，常用的方法是增益調(diào)度法 [61]。對于不確定性，研究的重點(diǎn)在自適應(yīng)控制 [62], H∞ 控制 [9,63]、變結(jié)構(gòu)控制[64,65,66]等。 時(shí)滯觀測器從另一個(gè)角度給出了一種用于非線性、不確定系統(tǒng)的魯棒控制方法，將非線性系統(tǒng)的主要部分線性化后，直接利用時(shí)滯觀測器來觀測系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài)、不確定性及外 部干擾。 換句話說，時(shí)滯觀測器利用系統(tǒng)過去的響應(yīng)及激勵(lì)信息直接改變控制信號，而不是改變控制器的增益，也不是辨識系統(tǒng)的參數(shù)修改控制器。因此，這是一種不依賴模型的控制器。眾所周知，連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，因此，可以假設(shè)在足夠小的時(shí)間間隔 L 內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)變量幾乎保持不變。這就是時(shí)滯觀測器的立足之處 [54] YoucefToumi 在文獻(xiàn) [55,56,57]中分析了時(shí)滯觀測器的結(jié)構(gòu)、算法與實(shí)現(xiàn)。隨后， YoucefToumi 和第 2 章 預(yù)備知識 14 Reddy[67]分析了線性時(shí)不變系統(tǒng)采用時(shí)滯觀測器以后的穩(wěn)定性問題，給出了系 統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，而且當(dāng)時(shí)滯足夠小時(shí)這一條件也是充分的。在連續(xù)的情況下，由于控制器采用了一定的近似且系統(tǒng)含有未建模動(dòng)態(tài)，因此不是指數(shù)穩(wěn)定的。但是，當(dāng)采用數(shù)字控制器時(shí)高頻信號被濾除，就不存在指數(shù)穩(wěn)定問題。也指出了閉環(huán)系統(tǒng)對輸入收斂的條件 .該文還就時(shí)滯觀測器和時(shí)滯學(xué)習(xí)控制器進(jìn)行了對比，指出 :當(dāng)時(shí)滯觀測器中的時(shí)滯 L 等于周期激勵(lì)信號的周期時(shí)，時(shí)滯觀測器的作用就相當(dāng)于時(shí)滯學(xué)習(xí)控制器 。相應(yīng)地，對于一些線性系統(tǒng)來說，當(dāng)時(shí)滯學(xué)習(xí)控制器中的時(shí)滯 L 足夠小時(shí)，時(shí)滯學(xué)習(xí)控制器相當(dāng)于時(shí)滯觀測器。 YoucefToumi 和 Bobbetll39。1 又利用 Nyquist 理論和 Kharitonov 定理 [68,69]分析了時(shí)滯觀測器系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，得出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。 Lee 和 Oh 將時(shí)滯觀測器與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相接合，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性的擬合能力對非線性對象進(jìn)行建模，結(jié)合時(shí)滯觀測器提高系統(tǒng)對不確定性、外部擾動(dòng)的抑制能力，結(jié)構(gòu)如圖 所示 [72] 由于時(shí)滯觀測器具有抑制不確定性的能力，在系統(tǒng)投運(yùn)前不必根據(jù)系統(tǒng)的行為完全訓(xùn)練好神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這種結(jié)構(gòu)中，時(shí)滯觀測器抑制短時(shí)間的系統(tǒng)變化或不確定性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反映長時(shí)間的系統(tǒng)變化或不確定性。 圖 基于 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯 (觀測器 )控制系統(tǒng) 時(shí)滯觀測器中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)是對時(shí)滯狀態(tài)微分的估計(jì)，常用的方法是后向差分法。YoucefToumi 和 McMahon 提出了用基于滑動(dòng)窗口的插補(bǔ)法來估計(jì)微分 [70]，性能優(yōu)于后向差分的情況。 YoucefToumi 和 Huang[71]用卷積積分來抑制估計(jì)時(shí)滯狀態(tài)微分帶來的噪聲放大，并用外推法(L=nT)來改善性能。文中還分析了這種方法的準(zhǔn)確性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第 3 章 非線性離散系統(tǒng)基于干擾抵消的控制方法 15 第 3章 非線性離散系統(tǒng)基于干擾抵消的控制方法 引言 具有干擾的非線性系統(tǒng)的分析與控制一直是控制理論的研究熱點(diǎn)。已有的成熟有效 的方法包括微分幾何、隨機(jī)優(yōu)化、 H∞ 、自適應(yīng)控制和反推方法 [2,14,4,41,42]。目前已有的成果主要存在以下兩個(gè)缺陷：一是設(shè)計(jì)方法往往過于復(fù)雜（如依賴于非線性偏微分方程和代數(shù)方程的求解）；二是穩(wěn)定性僅僅在無干擾的情況下才能得到保證。由于一個(gè)有界干擾的加入可能破壞一個(gè)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，上述方法往往不能保證干擾存在時(shí)閉環(huán)非線性系統(tǒng)的“真正”穩(wěn)定性。 對于實(shí)際應(yīng)用來說，一個(gè)好的控制策略除了應(yīng)該保證穩(wěn)定性和其他動(dòng)、靜態(tài)性能，還應(yīng)該具有容易實(shí)現(xiàn)的簡單結(jié)構(gòu)、快速而收斂的算法和對于干擾噪聲、參數(shù)漂移和未建模動(dòng)態(tài)的魯 棒性能。某些傳統(tǒng)的方法具有簡單的設(shè)計(jì)步驟但是難以達(dá)到令人滿意的魯棒性能；另外一些方法理論上可以保證良好的性能，但是由于復(fù)雜的控制結(jié)構(gòu)或者算法使得難以在線實(shí)現(xiàn)。 本章采用基于干擾觀測的控制 (DOBC)方法，這是源于實(shí)踐的方法，該方法依賴于前饋補(bǔ)償?shù)乃枷?，易于和其他反饋控制方法形成保證干擾抑制和動(dòng)態(tài)性能的復(fù)合控制方法，不僅能夠保證系統(tǒng)在出現(xiàn)干擾時(shí)穩(wěn)定，而且易于在線整定，非常具有實(shí)用價(jià)值。在機(jī)電、動(dòng)力以及結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域作為一種魯棒方法近年來得到廣泛應(yīng)用 [30]。 但是目前 DOBC 方法多數(shù)用于線性模型。所考慮的干擾類 型往往局限在常值或者諧波信號。文[43]首次對于具有外部動(dòng)態(tài)模型干擾的一類非線性連續(xù)系統(tǒng)提出了一個(gè)完整的干擾觀測和抵消方法。本章在文 [43]的基礎(chǔ)上，對于一類非線性離散系統(tǒng)，提出了一種基于降階觀測器的干擾觀測以及 DOBC方法，所得的結(jié)果推廣了文 [43]的方法。 問題描述 考慮以下形式的廣義被控對象： 0 01 01 0( 1 ) ( ) ( ( ) , ) [ ( ) ( ) ]x k G x k F f x k k H u k d k? ? ? ? ? 0 02 02( ) ( ) ( ( ) , )y k C x k F f x k k?? （ ） 其中 ()xk 是系統(tǒng)的狀態(tài) , ()yk 為系統(tǒng)輸出 , 0 0, 0,G H C 分別是系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 ,輸入矩陣和輸出矩陣 . 01 02,FF是非線性加權(quán)系數(shù) , 01 02,ff是非線性函數(shù) , ()dk 是輸入通道中的干擾 . 為了便于研究 , 類似于文 [43]，我們引入如下假設(shè) : 假設(shè) : 非 線性動(dòng)態(tài)滿足如下的范數(shù)性質(zhì) 0 (0, ) 0ifk? , 0 1 0 2 1 2( ( ) , ) ( ( ) , ) ( ( ) ( ) )i i if x k k f x k k U x k x k? ? ?, 1,2i? （ 3.2） 第 3 章 非線性離散系統(tǒng)基于干擾抵消的控制方法 16 假設(shè) : 輸入通道干擾可以表示為如下的外部動(dòng)態(tài)子系統(tǒng) ,即 ( 1) ( )w k Ww k?? , ( ) ( )d k Vw k? （ ） 假設(shè) : 這個(gè)假設(shè) 是一個(gè)必要條件。 00( , )GH 是可控的 , 0( , )W HV 是可觀的。 觀測器設(shè)計(jì) 如果被控系統(tǒng)的狀態(tài)和干擾子系統(tǒng)的狀態(tài)均不可用，則可以設(shè)計(jì)全維觀測器來估計(jì)被控系統(tǒng)的和干擾子系統(tǒng)的狀態(tài)。為了討論方便，這里假設(shè)被控系統(tǒng)狀態(tài)均可用 , 那么這里只需對干擾子系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行觀測。降階觀測器系統(tǒng)可構(gòu)造為 ? ?( ) ( )d k Vw k? ， ? ( ) ( ) ( )w k v k L x k?? 0 0 01 01 0( 1 ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( ) , ( ) )v k W L H V v k L x k L G x k F f x k k H u k? ? ? ? ? ? ? （ ） 這里 ?()wk 是觀測器所觀測的 ()wk 估計(jì) , 而 ()vk 是引入的輔助變量。對于誤差變量?( ) ( ) ( )we k w k w k??，根據(jù)（ ），（ ），（ ），我們可得誤差動(dòng)態(tài)方程為 ?( 1 ) ( 1 ) ( 1 )we k w k w k? ? ? ? ?= ( ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]W w k v k L x k? ? ? ? = 0 01 01 0( ) [ ( ) ( ( ) , ) ( ( ) ( ) ) ]W w k L G x k F f x k k H u k d k? ? ? ? ? 0 0 01 01 0[ ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ( ) , ) ( ) ) ]W L H V v k L x k L G x k F f x k k H u k? ? ? ? ? = 00( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )W w k L H d k W L H V v k L x k? ? ? ? = 00 ?( ) ( ) ( ) ( )W w k L H V w k W L H V w k? ? ? = 0 ?( ) ( ( ) ( ) )W L H V w k w k?? = 0( ) ( )wW LH V e k? （ ） 干擾抵消的性能將通過調(diào)節(jié)觀測器增益 L ，由動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 0( 1 ) ( ) ( )ww