【正文】 ??中不包含 v 和 nP 項。從利潤函數的表達式可以看出 v 和 nP 的關系具有完全平方的形式。 說明： 對于條件（ i），知情交易者交 易量是每股利潤的函數很容易理解，當每股利潤為零時，知情交易者也就沒有交易的動力。這里我們只考慮知情交易者是資產的凈買入者的情況，而將nx?看做是交易量的絕對值。因為，當1( ) 0nvg p? ???時，知情交易者賣出股票時，我們實際應該求解1( ( )) nn vgp x?? ??的最大化問題。并且這樣的需求函數形式與單期拍賣均衡是一致的。 對于條件（ ii），之所以均衡時 h 要等于零，是因為在 我們的均衡定義中要滿足定價規(guī)則，定價規(guī)則實際上是有效市場的要求，即價格要反映所有的歷史信息。因此，從有效市場的含義看，1np?應該反映 h 的所有內容。 對于條件（ iii），主要是從單期拍賣均衡的表達式推測而來。同時，我們要得到一個在遞歸形式的均衡解中要保持利潤函數的一致形式的解。 １７ （三）均衡存在性和唯一性的證明 定理二： 符合上述多期拍賣遞歸形式的線性均衡定義的 a 和 b 的解是唯一的，并且這個唯一解存在的充分必要條件是 ()g??? 。 證明： 見附錄三：多期拍賣情況下均衡的結構。 定理三： 多期拍賣存在一個唯一的如前文定義的遞歸形式的線性均衡。定義常數n?，n?，n?，n?，n?，使得： （ a）1( ( ) )nnnnvg pxt ?? ?? ? ? ? 其中 22(1 2 / )2 (1 / )( ( ) )( ( ) )nnnnn n ngt g???? ?? ? ????? （ b） 21 1( / ( ) ) nnn nvgP ??? ????? ? 其中， 221 4 (1 / )( ( ) )( ( ) )nn n ng g?? ?? ? ?? ? ? 2 2 21nn n n n uat? ? ??? ? ??? （ c）1 ()n n nnnpp xu??? ? ? ? ? 其中 2 2/()nnung ????? ? （ d）1( / ( ) ) ( | )n nnnV ar v g V ar vp xu??? ? ? ? ? ?? ， 1(1 )nnnnn t?? ?? ? ??? 并且，給定0?，常數n?，n?，n?，n?，n?是下列差分方乘的唯一解。 221 4 (1 / )( ( ) )( ( ) )nn n ng g?? ?? ? ?? ? ?； 2 2 21nn n n n uat? ? ??? ? ???；22(1 2 / )2 (1 / )( ( ) )( ( ) )nnnnn n ngt g???? ?? ? ?????； 2 2/()nnung ????? ?；1(1 )nnnnn t?? ?? ? ??? 并且 0NN? ???和 2(1 ) 0n n na? ? ???。 證明： 見附錄四：多期拍賣均衡的求解和唯一性的證明。 （四）多期拍賣均衡結果與 Kyle（ 1985）模型多期拍賣均衡結果的比較 從定理三可以看到，我們的均衡解在結構和形式上與 Kyle（ 1985）模型多期拍賣的均衡解十分相似，比較兩個均衡參數之間的關系，我們得到下面的結論。這里用下劃線表示 １８ Kyle 模型中的系數，以示區(qū)別（具體求解過程見附錄五：多期拍賣均衡結果與 Kyle （ 1985）模型多期拍賣均衡結果的比較）。 ()n g n?? ??? ； ()n g n?? ??? ； n n??? ? ； / ( )nnn gntt??? ?? ? ? ； ()n g n? ??? ? 將上述參數之間的關系代入知情交易者交易指令函數、做市商定價函數以及知情交易者利潤函數，得到下面的結果： 第一、溢價函數的加入使得均衡價格成為原來的 ()g? 倍，即價格上漲幅度等于溢價程度； 第二、溢價函數的加入不影響均衡時知情交易者的交易數量； 第三、由上述兩點決定了均衡時知情交易者的利潤增加為原來的 ()g? 倍，這就意味著未知情交易者的損失由于溢價的存在增加了。 （五） b 的取值與 ()g? 取值范圍的關系 這里首先需要說明的是，我們對多期拍賣遞歸形式均衡定義中的條件（ iii）是一個比較強的假設，如果放松該條件，即允許存在沒有統一形式利潤函數的均衡，那么可能會存在 1b? 和 1/ ( )ag?? 之外的均衡。在單期均衡求解過程中，我們遇到了 ()g? 取值范圍有限制的問題，這個情況同樣發(fā)生在多期均衡求解的過程中。正常的思路應該是求出 a 與 b 的顯示解，在根據一定的約束條件得到 ()g? 的取值范圍。但正是因為我們無法解出 a 與 b 的顯性形式，因此我們從兩方面來分析 b 的取值與 ()g? 取值范圍的關系。一方面，根據 b 的取值確定 ()g? 的取值范圍；另一方面，根據 ()g? ，討論 b 的取值范圍。并且，用來求出()g? 取值范圍的約束條件是在 ( ) 0bg???? 的情況下得到的，因此這里我們只分析( ) 0bg???? 情況下 b 的取值與 ()g? 取值范圍的關系。 基本結論總結如下，具體計算過程見附錄六： b 的取值與 ()g? 取值范圍的關系。 在 1b? 的情況下，要求 2() bgb????，而 2bb??是大于 ? 的，因此 ()g? 一定要大于? ；在 1b? 的情況下，要求 2() bg b???? ，而 2bb?? 是小于 ? 的，因此 ()g? 一定要小于? 。當 ()g??? 時，要求 2 1() bg ?????? ；當 ()g??? 時，要求 21 ()b g ????? ? 。 而事實 上， ()g? 和 ? 都是外生給定的，也就是我們是在 ()g? 和 ? 大小關系給定的情況下討論問題。 １９ 三、多期拍賣的序貫均衡的極限 當多期拍賣中兩次交易的時間間隔趨于零時，多期拍賣的均衡結果是否會收斂，若收斂那么這個極限是否與連續(xù)拍賣均衡結果一致？下面，我們首先計算多期拍賣均衡結果的極限。 定理四： 當多期拍賣中兩次交易的時間間隔 趨于零時，多期拍賣的均衡結果是收斂的 ， 其 極 限 結 果 為 ： 1 / 22( ) ( ) 0( / )tg u?? ?? ? ； 1 / 2 12()0 ( ) (1 )( / )t u gt? ?? ?? ??；1 / 21 2( ) ( ) 02 ( / )tg u?? ?? ? ； 1 / 21 2( ) ( ) (1 )02 ( / )t g tu ??? ? ?? ； 0( ) (1 )tt? ? ? ? 。 證明： 見附錄七：當多期中兩次交易間隔時間趨于零時，多期拍賣均衡結果的極限。 四、連續(xù)拍賣均衡 （一）均衡的計算 在這一部分我們考慮連續(xù)拍賣的線性均衡。我們不再嚴格證明均衡存在的唯一 性，而只是假設線性均衡的唯一性并且仿照多期拍賣序貫均衡的形式定義連續(xù)拍賣均衡的部分函數形式，然后求解其他參數值。并且，我們只討論 ()g??? 的連續(xù)拍賣均衡。 首先仿照多期序貫均衡中知情交易者利潤函數、知情交易者交易指令函數和做市商的定價函數，定義： ( ) ( ) [ ( ) / ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( )d t g v p t g dp t dx t v g p t dx t? ? ? ?? ? ? ? ? ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]dx t t v g p t dt???? ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]dp t t dx t du t??? 知情交易者的利潤函數：1{ ( ) | ( ) , : [ 0 , ] } { ( ) | ( ) , : [ 0 , ] }stE t p s v s t E d s p s v s t?? ?? ? ? ? ? ? ?? 有效市場條件： ( ) { | : [ 0 , ] } ( )g E v dx du s t p t? ? ? ? ? ? 定義： 2* ( ) { }[ ( ) / ( ) ]tE v p t g ?? ?? ， ( ) v a r { / ( ) | : [ 0 , ] }tt v g dx du s tp ?? ? ? ? ? ? ? ２０ 定理五： 在遞歸形式的連續(xù)拍賣均衡中，有： 1 / 22( ) ( ) 0( / )tg u?? ?? ? ，是一個常數；1 / 2 12() 0 ( ) (1 )( / )t u gt? ?? ?? ?? ； 1 / 21 2( ) ( ) 02 ( / )tg u?? ?? ? ； 1 / 21 2( ) ( ) (1 )02 ( / )t g tu ??? ? ?? ；0( ) (1 )tt? ? ? ? 。 證明： 見附錄八：連續(xù)拍賣均衡的求解。 （二）均衡的性質 （ 1）方差的導數是一個常數，這說明知情者的私人信息進入價格的速率是均勻的；在交易結束時，價格方差為零，這說明私人信息以全部進入到價格中。 （ 2）市場深度在整個過程中不發(fā)生變化。 （ 3）價格的波動是由未知情交易者的交易引起的。 （ 4）和 Kyle（ 1985）的連續(xù)拍賣均衡相比較可以看出，參數的關系與多期拍賣均衡時參數的關系是一致的。 （ 5）不流通股對均衡的影響與我們對單期拍賣在 ()g??? 情形下的均衡進行比較靜態(tài)分析的結論是相同的。 五、多期拍賣序貫均衡極限與連續(xù)拍賣均衡的等價性 定理六： 多期拍賣序貫均衡極限與連續(xù)拍賣均衡是等價的。 證明： （略）。 從定理四與定理五很容易得到這個結論。 第四部分 結論 一、 單期拍賣均衡、多期拍賣的序貫均衡和連續(xù)拍賣均衡存在條件的比較 在單期拍賣均衡中，存在 ()g??? 條件下的均衡解，而在多期拍賣的序貫均衡求解中我們證明了滿足均衡定義的解存在的充分必要條件是 ()g??? ，由于連續(xù)拍賣均衡的構建是以多期拍賣為基礎，因此也用到了 ()g??? 的條件。因此，單期拍賣均衡存在性要比多 ２１ 期和連續(xù)拍賣均衡的存在性更容易實現。 二、 單期拍賣均衡、多期拍賣的序貫均衡和連續(xù)拍賣均衡中非流通股 ? 取值范圍的比較 在單期拍賣均衡中我們通過具體例子說明了不流通股的上限是溢價函數溢價程度的增函數。在多期拍賣的序貫均衡和連續(xù)拍賣均衡中，由于我們沒有得到均衡的顯示解，因此無法直接得到非流通股 ? 的確定的取值范圍，但是我們對 b 與 ? 取值范圍的關系也進行了一些說明。在單期拍賣均衡和多期拍賣的序貫均衡有一點是共同的，那就是不流通股的取值范圍是與求解均衡時某個參數表達式有意義相關的，所以非流通股的取值范圍直接決定了均衡是否存在。在求解多期拍賣均衡時，我們注意到， ? 的取值范圍與交易進行的時期無關。 三、 ()g??? 條件下均 衡結果與 Kyle（ 1985）均衡結果的比較 在分析多期拍賣的序貫均衡時，我們比較了各個參數與 Kyle 模型中相應參數的關系，這些關系擴展到單期拍賣均衡與連續(xù)拍賣均衡都是成立的。從比較的結果可以看出非流通股對拍賣均衡的影響。 在定價規(guī)則對資產真實價值的偏離抵消了資產溢價的情況下，有： 第一、市場深度減小，即：單位交易量的變化會引起價格的更大變化，反過來說，要使價格改變只需要較小的交易量變化。這就使操縱股票市場價格的行為變得更加容易； 第二、知情交易者的利潤增加為原來的 ()g? 倍。在我們的模型中，資產市場上的交易實質是一個“零和博弈”，這個結果意味著資產市場中沒有信息優(yōu)勢的交易者損失加劇，福利減少； 第三、知情交易者的交易量沒有改變。這一點比較容易理解，知情交易者的交易量是由購買單位資產的剩余決定的，當定價規(guī)則對資產真實價值得偏離抵消了資產溢價，他購買單位資產的剩余與 ()g??? ＝ 1 情況下的剩余是相同的，故交易量不會發(fā)生改變； 第四、私人信息擴散的速度不變。私人信息是通過知情交易者提交的交易指令擴散的，由于知情交易者的交易量的 沒有改變，就不會改變私人信息的擴散速度，這也意味著價格的波動情況是一樣的； 第五、 很明顯的結果，均衡價格是 Kyle（ 1985）模型中均衡價格的 ()g? 倍。 ２２ 四、 有效市場的定價規(guī)則 我們雖然對定價規(guī)則進行改變，但是并沒有改變其有效市場的內涵。因為從信息有效的定義看，修改過的定價規(guī)則仍然反映了影響價格的歷史信息，仍然是一種“弱式有效”。 但是從均衡存在的要求來看，資產的定價并不一定要與資產的真實價值一致。這可以看做是對目前國有股減持過程中國有股定價以凈資產值為基礎這一觀點 的反證。 五、 未知情交易者行為對均衡的影響 未知情交易者對均衡影響的分析結果與 Kyle（ 1985）的分析是一致的。 第一， 市場深度是未知情交易者交易