軟件20xx組合數(shù)學(xué)—第一章緒論-資料下載頁(yè)
2025-01-06 15:47本頁(yè)面
【正文】 )， … ?第 k行為 (k,k+1,…,n,1, …, k1)， … ， ?第 n行為（ n,…,3, 2, 1 ）。 2022年 2月 3日 例 設(shè)計(jì)一個(gè)藥物臨床試驗(yàn)以測(cè)試五種藥物對(duì)人體的藥效。這五種藥物編號(hào) 1,2,3,4,5。然后選取 5個(gè)人，并給每人不同的藥。為了消除個(gè)體對(duì)藥物的反應(yīng)偏差， 要求在連續(xù) 5天里進(jìn)行測(cè)試，每人每天吃一種藥物 。而為了消除服藥時(shí)間造成藥效的偏差， 要求 2個(gè)人不能在同 1 天吃相同的藥 。 2022年 2月 3日 ?最后滿足要求的實(shí)驗(yàn)是要形成由 1,2,3,4,5構(gòu)成的 5 5的方陣，其中每行每列中沒(méi)有相同的數(shù)字，即 5階拉丁方的構(gòu)造問(wèn)題。 2022年 2月 3日 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2022年 2月 3日 167。 涂色問(wèn)題 ? 在實(shí)際應(yīng)用中，很多計(jì)數(shù)問(wèn)題都可抽象成涂色問(wèn)題。 ?作為典型的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)涂色問(wèn)題難度的不同，將反映出各種不同的計(jì)數(shù)技術(shù)。 2022年 2月 3日 例 對(duì)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)涂以紅、藍(lán)（ r和 b）兩種顏色，求有多少種不同的涂色方案？ 解 由于只有兩種顏色，我們可以采用枚舉方法分類討論。 2022年 2月 3日 ? 涂色方案可分成四類： （ 1）三點(diǎn)全涂紅色，只有一種方案 rrr （ 2）三點(diǎn)全涂藍(lán)色，只有一種方案 bbb （ 3）兩點(diǎn)涂紅色，一點(diǎn)涂藍(lán)色，因藍(lán)色可分別涂于三個(gè)頂點(diǎn)之一，故有 3種方案 brr， rbr， rrb （ 4）由對(duì)稱性可知，兩點(diǎn)涂藍(lán)色，一點(diǎn)染紅的方案也有 3種： 2022年 2月 3日 黑色 , 無(wú)色 2022年 2月 3日 如果考慮正三角形可以旋轉(zhuǎn)，則(3),(4),(5)顯然是同一個(gè)涂色方案，(6),(7),(8)也是同一個(gè)涂色方案，這樣涂色方案數(shù)就變成了 4種。 如果變成了空間的四面體了，即加上空間的旋轉(zhuǎn)之后，涂色方法的計(jì)算將更加復(fù)雜。 要涂色的點(diǎn)和可選顏色的數(shù)目如再增加的話，枚舉方法就不奏效了 2022年 2月 3日 需要特殊技巧解決問(wèn)題 例 有 101名選手參加羽毛球比賽，如果采用單循環(huán)淘汰制，問(wèn)產(chǎn)生冠軍需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？ 方法一： 50+25+13+6+3+2+1=100場(chǎng)比賽 方法二： 由于每場(chǎng)比賽都要產(chǎn)生一個(gè)失敗者，而每個(gè)失敗者只能失敗一次，因此比賽的場(chǎng)數(shù)與失敗者的人數(shù)相等，除冠軍外其他 100人都失敗過(guò)，因此產(chǎn)生冠軍需要 100場(chǎng)比賽。 2022年 2月 3日 解 ： 首先可以看到，通過(guò) 6次是可以完成整個(gè)切割的，上圖就是這樣的一種方案。其次，我們證明少于 6次是不能完成切割的。由于處于原立方體中心的一個(gè)小立方體的每個(gè)面都是由切割產(chǎn)生的，每次切割只能產(chǎn)生一個(gè)面，所以切割次數(shù)不能少于它的面數(shù)，因此至少 6次才能完成切割。 例 有一個(gè)邊長(zhǎng)為 3的立方體木塊，要把它切割成 27個(gè)邊長(zhǎng)為 1的小立方體，如果在切割的過(guò)程中可以重新排列被切割的木塊，問(wèn)至少需要多少次才能完成任務(wù)？ 2022年 2月 3日 補(bǔ)充內(nèi)容 有 n盞燈在一條走廊上排成一列，它們都關(guān)閉著。某人在這一走廊上往返 n次。第一次通過(guò)走廊時(shí)拉動(dòng)每一盞燈的開(kāi)關(guān)，然后回到走廊端點(diǎn)處。第二次通過(guò)走廊時(shí)拉動(dòng)第二、四、六、 … 盞燈的開(kāi)關(guān)，再回到走廊端點(diǎn)處。第三次通過(guò)走廊時(shí)拉動(dòng)第三、六、九、 … 盞燈的開(kāi)關(guān)，再回到走廊端點(diǎn)處。如此等等。問(wèn)此人往返 n次后，那些燈的開(kāi)關(guān)仍然關(guān)閉，哪些燈已經(jīng)亮了。 2022年 2月 3日 分 析 考慮第 i盞燈 (1≤i≤n)。顯然如果 i有 k個(gè)因子 (包括 1和 i )，則第 i 盞燈的開(kāi)閉狀態(tài)就被改變 k次 當(dāng)且僅當(dāng) k是偶數(shù)時(shí)第 i 盞燈關(guān)閉，當(dāng)然為 k是奇數(shù)時(shí)第 i 盞燈就亮 2022年 2月 3日 分 析 正整數(shù) n的因子個(gè)數(shù) (包括 1和 n)是奇數(shù)的充分必要條件是 n為一個(gè)完全平方數(shù) 2022年 2月 3日
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