【正文】 為 ， 所 以解 法 ：在 正 方 形 中 ，∽ ， 故 ， 即設(shè) 到 平 面 的 距 離 為 ，則 由 得 ，即 ， 故 ，所 以 點 到 平 面 的 距 離 為80 5353253si n .2si2n.dAD AECADAC AD E AECAD E D AEC AED AE D A AEC Rt AD ED AE?? ? ? ??????設(shè) 與 平 面 所 成 角 為 ， 則由 于 平 面 ， 所 以 平 面 平 面， 所 以 點 在 平 面 上 的 射 影 在 上 ， 所 以就 是 與 平 面 所 成 的 角 ． 在 中 ，易 求 得解 法 ： 求線面角的常用方法： ① 垂線法：過線上一點直接作面的垂線 ， 則射影與斜線所成角就是線面角 (關(guān)鍵是找到垂足 )； ② 等體積法：當(dāng)垂足不好確定時 ， 可以不確定 ，用等體積法求距離 ， 從而求得線面角； ③ 向量法 ． 例 4. 如圖所示，在三棱錐 P—ABC中 , △ PAB是等邊三角形， ∠ PAC＝ ∠ PBC＝ 90176。. (1)證明： AB⊥ PC； (2)若 PC＝ 4，且平面 PAC⊥ 平面 PBC， 求三棱錐 P—ABC的體積． (1)證明 :由 PA＝ PB， ∠ PAC＝ ∠ PBC＝ 90176。, 且 PC為△ PAC與△ PBC的公共邊， 則△ PAC≌ △ PBC， 因此 AC＝ BC， 取 AB中點 D，連接 PD， CD， 則 PD⊥ AB， CD⊥ AB， 因此 AB⊥ 平面 PDC，則 AB⊥ PC. 熱點四、空間垂直與求體積問題 例 4. 如圖所示，在三棱錐 P—ABC中 , △ PAB是等邊三角形， ∠ PAC＝ ∠ PBC＝ 90176。. (1)證明： AB⊥ PC； (2)若 PC＝ 4，且平面 PAC⊥ 平面 PBC， 求三棱錐 P—ABC的體積． ( 2) 解 : 作 BE ⊥ PC 垂足為 E ，連接 AE . 由 △ P A C ≌△ PBC 知 AE ⊥ PC ， 則 ∠ B EA ＝ 90176。 . 可證 △ P BE ≌△ A BE ，則 ∠ BP C ＝ 4 5176。 . △ PB C 為等腰直角三角形，則 E 為 PC 中點． V P — ABC ＝ V P — ABE ＋ V C — ABE ＝ 13 S △ ABE PC ＝ 83 . ( 2 ) 解 : 作 BE ⊥ PC 垂足為 E ，連接 AE . 由 △ P A C ≌△ PBC 知 AE ⊥ PC ， 則 ∠ B EA ＝ 90176。 . 可證 △ P BE ≌△ A BE ，則 ∠ BP C ＝ 4 5176。 . △ PB C 為等腰直角三角形，則 E 為 PC 中點 ． V P — ABC ＝ V P — ABE ＋ V C — ABE ＝ 13 S △ ABE PC ＝ 83 . ( 2) 解 : 作 BE ⊥ PC 垂足為 E ，連接 AE . 由 △ P A C ≌△ PBC 知 AE ⊥ PC ， 則 ∠ B EA ＝ 90176。 . 可證 △ P BE ≌△ A BE ，則 ∠ BP C ＝ 4 5176。 . △ PB C 為等腰直角三角形，則 E 為 PC 中點． V P — ABC ＝ V P — ABE ＋ V C — ABE ＝ 13 S △ ABE PC ＝ 83 . ( 2) 解 : 作 BE ⊥ PC 垂足為 E ，連接 AE . 由 △ P A C ≌△ PBC 知 AE ⊥ PC ， 則 ∠ B EA ＝ 90176。 . 可證 △ P BE ≌△ A BE ，則 ∠ BP C ＝ 4 5176。 . △ PB C 為等腰直角三角形，則 E 為 PC 中點． V P — ABC ＝ V P — ABE ＋ V C — ABE ＝ 13 S △ ABE PC ＝ 83 . ( 2 ) 解 : 作 BE ⊥ PC 垂足為 E ，連接 AE . 由 △ P A C ≌△ PBC 知 AE ⊥ PC ， 則 ∠ B EA ＝ 90176。 . 可證 △ P BE ≌△ A BE ，則 ∠ BP C ＝ 4 5176。 . △ PB C 為等腰直角三角形，則 E 為 PC 中點 ． V P — ABC ＝ V P — ABE ＋ V C — ABE ＝ 13 S △ ABE PC ＝ 83 . ( 2 ) 解 : 作 BE ⊥ PC 垂足為 E ，連接 AE . 由 △ P A C ≌△ PBC 知 AE ⊥ PC ， 則 ∠ B EA ＝ 90176。 . 可證 △ P BE ≌△ A BE ，則 ∠ BP C ＝ 4 5176。 . △ PB C 為等腰直角三角形，則 E 為 PC 中點 ． V P — ABC ＝ V P — ABE ＋ V C — ABE ＝ 13 S △ ABE PC ＝ 83 . (1)證明 : 在△ ABD中 , ∵ AD＝ 4, BD＝ 8, AB＝ 4 , ∴ AD2＋ BD2＝ AB2. ∴ AD⊥ BD. 又 ∵ 面 PAD⊥ 面 ABCD, 面 PAD∩面 ABCD＝ AD， BD?面 ABCD， ∴ BD⊥ 面 PAD. 又 BD?面 BDM， ∴ 面 MBD⊥ 面 PAD. 【 例 5】 如圖所示 ,在四棱錐 P—ABCD中 ,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥ DC, △ PAD是等邊三角形 ,已知 BD＝2AD＝ 8, AB＝ 2DC＝ . (1)設(shè) M是 PC上的一點 ,求證 :平面 MBD⊥ 平面 PAD。 (2)求四棱錐 P—ABCD的體積 ． 455( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 , 斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 A B C D 為梯形． 在 Rt △ A D B 中 ,斜邊 AB 邊上的高為 4 84 5 ＝ 8 55 , 此即為梯形的高． ∴ S 四邊形 ABCD ＝ 2 5 ＋ 4 52 8 55 ＝ 24 . ∴ V P — A BCD ＝ 13 24 2 3 ＝ 16 3 . ( 2) 解 : 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 A B C D ， ∴ PO ⊥ 面 A B C D ， 即 PO 為四棱錐 P — A B C D 的高． 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥