練習冊第19-21頁t6-10,其中交p19-20-資料下載頁
2025-10-02 11:07本頁面
【導讀】線性代數(shù)第三章1. 的等式與不等式，掌握方程組秩的解法。重點秩的不等式及其應用練習冊。轉置、變換均恒等，還有不等式，方程。組秩的判定定理，定理的證明、過程及。內容概括轉置變換乘逆陣恒等加上部分整體、合。并最小的不等式組成了秩的性質。程組的最簡型開始，定義同解方程組的。自由變量的值即得解的矩陣向量形式。本次課講第三章第二節(jié)的應用，并講授。第三章第三節(jié)第四節(jié)，下次上課前完成作業(yè)19頁到21頁，交作。k個初等矩陣之積。2)必要性：設A可逆，因任何矩陣經(jīng)初等變換均可變成初等。，則可逆矛盾；若與則若。階可逆在的充分必要條件是，存矩陣。，即左乘一施行一系列初等行變換對分塊矩陣。）用初等變換求逆矩陣（。同樣討論列的情況：可得到如下結論：。同樣成立成立的結論對一樣的，因此，對。成一個矩陣方程組將兩個線性方程組合并所以可令
【正文】 列元素變成 0，按照上三角形依次做下去 ????????????????????????????????????111000322020211000111000111110222110100220100110111000111110~~A第七講：初等變換應用與矩陣的秩 線性代數(shù) 第三章 20 ????????????????????????????????000000000000100000111000111110000000100000100000111000111110~～所以： R（ A)＝ 3 對于 n 階可逆矩陣 A， 因 ， 0?A 知 A的最高階非零子式為 ， A? ? nAR ? 所以 A 的秩等于它的階數(shù)， 故可逆矩陣 又稱 滿秩矩陣 而奇異矩陣又稱 降秩矩陣 。 第七講：初等變換應用與矩陣的秩 線性代數(shù) 第三章 21 2） 若 A~B, 則 R(A) = R(B)。 R(A) = R (kA). 分析：由于初等變換不改變子式非零的特性，由定理，顯然初等變換秩不變。 二、矩陣的秩的基本運算 : （不變）運算 分析：由定義 A的子式也是 AT的子式，反之亦然 )()(1 ARAR T ?）3） 若 P,Q 可逆 , 則 : R(PAQ) = R(A). 分析：因 P、 Q可逆，由初等矩陣定理， PAQ與 A等價。 推論： 若 B可逆，則 R(BA)=R(A)（ 或 R(AB)=R(A)） 分析：在上述推論中，只要令 P=B， Q=E即可（或 P=E， Q=B） 第七講：初等變換應用與矩陣的秩 線性代數(shù) 第三章 22 分析：由定義，最大 k階子式是行列式，小于 m、 n 1） ()mn0 { } .?? R A m i n m , n（大小比較）運算 )()}(),({ BARBRARM a x 、?2）部分的秩小于整體的秩 ),()}(),(m a x {),()(),()(),(),(BARBRARBARBRBARARkBAkABARBA??? 所以有：同理：子式，故階的階子式總是的相比，與或)()()()()(),( BRARBARBRARBAR ????? ；3）合（并）的秩小于秩的合（并）。即： 第七講：初等變換應用與矩陣的秩 線性代數(shù) 第三章 23 ???????????????????????????????????????0000212121rrrrTTTBABABABArBRrAR~~),(.)(,)(則：設證：先看第一個不等式)()(),(),( BRARrrBARBARBARTTT ??????????????21?( ) ( ) ( ) .R A + B R A + R B的元素。列的每一列含有的元素。前往后每一列均是列開始，該矩陣從階矩陣?？疾榫仃囈矠殡A矩陣，則均為、再看第二個不等式：設BnBnBBAnmBAnmBA1?????).,(第七講：初等變換應用與矩陣的秩 線性代數(shù) 第三章 24 ),(~),(.,BABBAABBAnniiinn???????的元素，即：，只剩下的元素全部減為中列則前列加到第列乘第列，加到第列元素乘第0211111???),(),( BARBBAR ??則：根據(jù)初等變換秩不變原)()()(),()( BRARBARBBARBAR ????? ，＝不等式體的秩的性質和第一個又根據(jù)部分的秩小于整)](),(m in [)( BRARABR ?）積的秩最?。?該不等式下一節(jié)有專門證明 ? ? ? ? )()(),()(),(m a x)(),(m i n)( BRARBARBRARBRARABR ?????如下連續(xù)不等式：系統(tǒng)不等式部分，可得)()()(,) 明下一章相關性以后可證則若 nBRAROBA lnnm ?????5第七講：初等變換應用與矩陣的秩
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