【導(dǎo)讀】&#167;采樣過程與采樣定理。&#167;采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。&#167;采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與脈沖傳遞。制系統(tǒng)的控制理論不同。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)間的根本區(qū)別在于：連續(xù)系統(tǒng)中。號乃是離散型的偏差信號。采樣開關(guān)經(jīng)一定時(shí)間T重復(fù)閉合，每次閉合叫間為ε，且有ε<T。)(*te)(*tu離散的偏差信號經(jīng)數(shù)字計(jì)算機(jī)的加工處理變換成數(shù)字信號，最低采樣頻率，所以在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)是很重要的。部分E(jω)／T稱為主頻譜。倘若ωs<2ωmax,則會出現(xiàn)圖中所示的相鄰頻譜的重疊現(xiàn)象，這時(shí)，根據(jù)采樣定理，在滿足ωs≥2ωmax的條件下，離散信號。量，保留主頻譜，從而無失真地恢復(fù)原有的連續(xù)信號。一階和二階保持器。其中最簡單、最常用的是零階保持器。零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器。個(gè)延遲時(shí)間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)穩(wěn)定不利。一階保持器的單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式可用下式表示，上式中各項(xiàng)均含有e-kTs因子，為便于計(jì)算定義一個(gè)新變量z=esT，人們習(xí)慣上稱F是f的z變換,指的是經(jīng)過采樣

　　

【正文】 8章 采樣控制系統(tǒng) 3．因?yàn)樵陂_環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)中常常含有 z－ 1的因子，為使 D(z)在物理上能實(shí)現(xiàn)，所以要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也含有 z－ 1的因子，以便與 G(z)相關(guān)因子的抵消，則要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ e(z)將包含常數(shù)項(xiàng)為 1的關(guān)于 z－ 1的多項(xiàng)式形式。顯見，表 84所列的 Φ e(z)均滿足上述要求。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 821 設(shè)單位反饋線性離散系統(tǒng)的連續(xù)部分及零階保持器的傳遞函數(shù)分別為 ))((10)(0 ??? ssssG sesG Tsh??? 1)(已知采樣周期 T=。 試計(jì)算能使給定系統(tǒng)反應(yīng)單位階躍函數(shù)的過渡過程具有最短可能時(shí)間的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) D(z)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 解 計(jì)算給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳送函數(shù) G(z)，即 )0 1 )()(1())(()]()([)(1111110?????????????zzzzzzsGsGZzG h因?yàn)?G(z)具有一個(gè)位于單位圓外的零點(diǎn)，為滿足上述限制條件 2及 3的要求，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ (z) =1－ Φ e(z) 必須含有項(xiàng)（ 1+ z－ 1 ）及 z－ 1的因子，即 Φ (z)應(yīng)具有一個(gè) z＝－ 。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 因此 )()(1)( 111 ?? ?????? zzbzz e將是 Φ e(z)所能具有的關(guān)于 z－ 1的項(xiàng)數(shù)最少的多項(xiàng)式。其中 b1是待定的常系數(shù)。 從上式可見，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ e(z)是一個(gè)階數(shù)不能低于 2的關(guān)于 z－ 1的多項(xiàng)式。因此，考慮到上述限制條件 1，以及典型輸入 r(t)＝ 1(t)，即 v＝ 1，可寫成如下形式： )1)(1()( 111 ?? ???? zazze式中 a1 ——待定的常數(shù)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 比較求得 2112111 )1( ???? ???? zzbzaza解得： ??????11111baab)()()( 11111 ???? ????? zzzzbz))(1()1)(1()( 11111 ???? ??????? zzzazze?????11ba第 8章 采樣控制系統(tǒng) ))(())(())(1()())(())()(1()()()()(111111111111111?????????????????????????????????zzzzzzzzzzzzzzzzzGzzDe第 8章 采樣控制系統(tǒng) 從求得的 D(z)可見，數(shù)字控制器是物理上可實(shí)現(xiàn)的。 經(jīng)數(shù)字校正后系統(tǒng)的輸出 11111)()()()(????????zzzzRzzC?? ????? ???? nzzzz 可見，采樣系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在兩個(gè)采樣周期結(jié)束，較表 84給出的暫態(tài)時(shí)間延長了一個(gè)周期，這是由于 G(z)含有一個(gè)單位圓外的零點(diǎn)之故。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 一般說來，最少拍系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間的增長與G(z)包含的單位圓上或圓外的零極點(diǎn)個(gè)數(shù)成正比。另外， G(z)中那些位于單位圓上或單位圓外的極點(diǎn)會引起最矩可能的過渡過程時(shí)間的增長，而且也將和這些極點(diǎn)的個(gè)數(shù)成比例。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 上面介紹了最少拍采樣系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法。最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法簡便，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，但在實(shí)際應(yīng)用上存在一些問題。前面已經(jīng)指出，最少拍系統(tǒng)對于各種不同典型信號的適應(yīng)性差。對于一種典型輸入信號設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)用于其它典型信號時(shí)性能并不理想。雖然可以考慮根據(jù)不同典型信號自動(dòng)切換程序，但應(yīng)用仍舊不便。 最少拍系統(tǒng)對參數(shù)變化較敏感。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)受各種因素的影響發(fā)生變化時(shí)，會導(dǎo)致系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間的延長。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 需要強(qiáng)調(diào)指出的是，按照上述方法設(shè)計(jì)最少拍系統(tǒng)只能保證在采樣點(diǎn)穩(wěn)態(tài)誤差為零，而在采樣點(diǎn)之間系統(tǒng)的輸出有可能會產(chǎn)生波動(dòng) (圍繞給定輸入 )，這種系統(tǒng)稱為有紋波系統(tǒng)。紋波的存在不僅引起誤差，而且增加功耗和機(jī)械摩損，這是許多快速系統(tǒng)所不容許的。適當(dāng)增長系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的時(shí)間 (增加響應(yīng)的拍數(shù) )，是能設(shè)計(jì)出既使輸出無紋波又使暫態(tài)響應(yīng)為最少拍采樣周期的系統(tǒng)。關(guān)于無紋波最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，請讀者參閱有關(guān)文獻(xiàn)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 167。 MATLAB在離散系統(tǒng)中 的應(yīng)用 MATLAB在離散控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中起著重要作用。無論將連續(xù)系統(tǒng)離散化、對離散系統(tǒng)進(jìn)行分析（包括性能分析和求響應(yīng)）、對離散系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)等，都可以應(yīng)用 MATLAB軟件具體實(shí)現(xiàn)。下面舉例，介紹 MATLAB在離散控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 1 連續(xù)系統(tǒng)的離散化 在 MATLAB軟件中對連續(xù)系統(tǒng)的離散化是應(yīng)用 c2dm()函數(shù)實(shí)現(xiàn)的， c2dm()函數(shù)的一般格式為 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 821 已知離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 838所示，求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。 (采樣周期 T=1s) 圖 838 例 820系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解： 可用解析法求 , ])1(1[1)(22 ???????zzzssZzzzG第 8章 采樣控制系統(tǒng) 用 Matlab可以方便求得上述結(jié)果。 程序如下： %This script converts the transfer function %G(s)=1/s(s+1) to a discretetime system %with a sampling period of T=1sec % num=[1]。den=[1,1,0]。 T=1 [numZ,denZ]=c2dm(num,den,T,’zoh’)。 printsys(numZ,denZ,’Z’) 打印結(jié)果 3 6 6 2 6 6 2 ???zzz第 8章 采樣控制系統(tǒng) 2 求離散系統(tǒng)的響應(yīng) 在 Matlab軟件中，求離散系統(tǒng)的響應(yīng)可運(yùn)用dstep()、 dimpulse()、 dlism()函數(shù)實(shí)現(xiàn)。其分別用于求離散系統(tǒng)的階躍、脈沖及任意輸入時(shí)的響應(yīng)。dstep()的一般格式如下 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 822 已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 839所示，輸入為單位階躍，采樣周期 T=1s，求輸出響應(yīng)。 圖 839 例 822系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 解： ])1(1[1)(22 ???????zzzssZzzzG)(1)()(2 ???????zzzzGzGz???????????????????543212))(1()()()()(zzzzzzzzzzzRzzC第 8章 采樣控制系統(tǒng) 用 Matlab中的 dstep()函數(shù)可很快得到輸出響應(yīng)，如圖 840所示。 程序如下： %This script gene rather the unit step response, y(kT), %for the sampled data system given in example % num=[0 ]。den=[1 –1 ]。 dstep(num,den) %This script putes the continuoustime unit %step response for the system in example 第 8章 采樣控制系統(tǒng) numg=[0 0 1]。deng=[1 1 0]。 [nd,dd]=pade(1,2) numd=ddnd。 dend=conv([1 0],dd)。 [numdm,dendm]=minreal(numd,dend)。 % [nl,dl]=series(numdm,dendm,numg,deng)。 [num,den]=cloop(nl,dl)。 t=[0::20]。 step(num,den,t) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 840 系統(tǒng)階躍響應(yīng) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 823 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )10)(()(10)(22??????ssssssG要求：繪制連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，以及 T=1， 。 解 ：求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可利用 Matlab中的 impulse()及 dimpulse()函數(shù)，設(shè)終端時(shí)間為 Tf。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 響應(yīng)曲線如圖 841所示。 程序如下： num=10*[1 2]。 den=conv([1 1],[1 10])。 clf subplot(2,2,1) Tf=15。 t=[0::Tf]。 impulse(num,den,t) m=1。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) while m=3, Ts=1/10^(m1)。 subplot(2,2,1+m) [numd,dend]=c2dm(num,den,Ts)。 [y,x]=dimpulse(numd,dend,Tf/Ts)。 tl=[0:Ts:TfTs]。 stairs(tl,y/Ts) xlabel(‘Timelsre(s)’) ylabel(‘Amplitude’) m=m+1。 end 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 841 系統(tǒng)脈沖響應(yīng) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 小 結(jié) 本章首先討論了離散信號的數(shù)學(xué)描述 ， 介紹了信號的采樣與保持 。 引入采樣系統(tǒng)的采樣定理 （ 香農(nóng)定理 ） ， 即為了保證信號的恢復(fù) ， 其采樣頻率信號必須大于等于原連續(xù)信號所含最高頻率的兩倍 。 為了建立線性離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ， 本章引進(jìn) Z變換理論及差分方程 。 Z變換在線性離散控制系統(tǒng)中所起的作用與拉普拉斯變換在線性連續(xù)控制系統(tǒng)中所起的作用十分類似 。 本章介紹的 Z變換的若干定理對求解線性差分方程和分析線性離散系統(tǒng)的性能是十分重要的 。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 本章扼要介紹了線性離散控制系統(tǒng)的分析綜合方法 。 在穩(wěn)定性分析方面 ， 主要討論了利用 Z平面到 W平面的雙線性變換 ， 再利用勞斯判據(jù)的方法 。值得注意的是 ， 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與系統(tǒng)固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外 ， 還與系統(tǒng)的采樣周期有關(guān) ，這是與連續(xù)控制系統(tǒng)分析相區(qū)別的重要一點(diǎn) 。 其它 ，諸如穩(wěn)態(tài)誤差 、 動(dòng)態(tài)響應(yīng)等分析都有闡述 。 在離散控制系統(tǒng)的綜合方法中 ， 本章主要介紹了無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 。 結(jié)合幾個(gè)實(shí)例介紹了 MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 。 返回