第四節(jié)定積分的應(yīng)用舉例-資料下載頁
2024-09-28 12:23本頁面
【導(dǎo)讀】對變力所作的功W，選擇質(zhì)點(diǎn)位置作為被分割變量，被分割區(qū)間是質(zhì)點(diǎn)的位移區(qū)間?？疾烊我恍^(qū)間上的部分量近。對曲邊梯形面積，在小區(qū)間上，用直線。部分量的近似值也應(yīng)表成的形式。第三步，求和。。第一步，選變量。第二步，求微元。并取，求出部分量。第三步，列積分。以量Q的微元為被積表達(dá)式，在。素法，下面我們將應(yīng)用這一方法來討論一些問題。例1求由拋物線與直線圍成的圖形的面積。解出它們的交點(diǎn)。解由對稱性知，所求面積是第一象限部分的面積的4倍。上一個窄條的面積，用寬為，如圖6-14，則其面積可對x積分得到。柱體體積作為近似，即得體積微元??繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；
【正文】 h????????y x O x x+dx h 2a圖 625 其上的壓強(qiáng)近似等于 gx(kN/ ㎡ ),g為重力加速度，故其上所受的水壓力 因?yàn)閴簭?qiáng)與水深成正比，同一深度的壓強(qiáng)是相同的，于是將 閘門水平分割成小橫條，即取變量 x為積分變量， 對應(yīng)小 區(qū) 間 閘 門 上 有 高 為 dx 的 小 條，其 面 積 ? ?0, .xh?? ?,x x dx?? ?22 1 ,xA d A y d x a d x mh??? ? ? ? ?????? ?1,xF d F a g x d x k Nh??? ? ? ?????于是整個閘門所受的水壓力為 ? ?2 3 200111.2 3 6hh xgF a g x d x a g x x a h k Nhh? ? ? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? 例 9某建筑工程打地基時，常需要用汽錘將樁打進(jìn)土層，汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力做功。設(shè)土層對樁的阻力大小與被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為 k， k0），汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下 a（ m），根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打所做的功與前一次擊打所做的功之比為常數(shù) r（ 0r1） .求 （ 1）汽錘擊打樁 3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？ （ 2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？ 解 （ 1）這是一個定積分中用元素法求做功問題 ,屬于定積分在物理應(yīng)用問題。根據(jù)題意知阻力為 ，其中 為汽錘將樁打入地下的深度，設(shè) 表示擊打樁 n次后在地下的深度（ n =1,2… ）所以有 1 221101122xW k x d x k x k a? ? ??212 2 2 22 2 1 211( ) ( )22xxW k x d x k x x k x a? ? ? ? ??由 得到 21W rW? 222 (1 )x r a?? 即氣錘擊打 3次后，可將樁打進(jìn)地下 （ 2）用歸納法，假設(shè) ，則 23 2 1W rW r W??23 1x r r a? ? ?由題意可知 ，所以得到 322 2 2 23 3 2 311( ) [ ( 1 ) ) ]22xxW k x d x k x x k x r a? ? ? ? ? ??21 ( m )r r a??211 nnx r r r a?? ? ? ? ?21 1 1nn n nW rW r W r W??? ? ? ?2 2 1 211 [ ( 1 ) ]2nnk x r r r a??? ? ? ? ? ?1 22111 ()2nnxn n nxW k x d x k x x???? ? ??由 得 1 (m ).1 ar?11l im1nn xar??? ? ?2 2 1 2 21 ( 1 )nnnx r r r a r a?? ? ? ? ? ? ?經(jīng)計算可以得 于是有 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下 121 111nnnrx r r r a ar?? ?? ? ? ? ? ??
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1