課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)課程組-資料下載頁(yè)
2024-09-28 10:04本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.,Xn的聯(lián)合分布已知時(shí)，例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…求Z=X+Y的概率函數(shù).即Z服從參數(shù)為的泊松分布.例3設(shè)X和Y相互獨(dú)立，X~B,Y~B,的次數(shù),每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.是直線x+y=z左下方的半平面.以上兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.例6甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.以12時(shí)為起點(diǎn),以分為單位,依題意,
【正文】 =1P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1P(Nz) =1 P(Xz)P(Yz) 設(shè) X1,…, Xn是 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 , )( xF iX(i =0,1， …, n) 它們的分布函數(shù)分別為 M=max(X1,…, Xn)的分布函數(shù)為 : )()( 1 zFzF XM ? )( zF nX… N=min(X1,…, Xn)的分布函數(shù)是 )](1[1)( 1 zFzF XN ???… )](1[ zF nX?特別，當(dāng) X1,…, Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有 FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1[1F(z)] n 與二維情形類似，可得 : 需要指出的是，當(dāng) X1,…, Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù) F(x)時(shí) , 常 稱 M=max(X1,…, Xn)， N=min(X1,…, Xn) 為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的作用和實(shí)用價(jià)值 . 下面我們?cè)倥e一例，說(shuō)明當(dāng) X1,X2為離散型 ，如何求 Y=max(X1,X2)的分布 . 解一 : P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n) =P(X1=n, X2≤n)+P( X2 =n, X1 n) ?????nkkn pqpq111 ??????1111nkkn pqpqqqqp nn??? ?1112qqqp nn??? ??11 112)2( 11 ?? ??? nnn qqpq記 1p=q 例 9 設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2相互獨(dú)立 ,并且有相同的幾何分布 : P(Xi=k)=p(1p)k1 , k=1,2, … ( i =1,2) 求 Y=max(X1,X2)的分布 . 解二 : P(Y=n)=P(Y≤n)P(Y≤n1) 211 ][????nkkpq=P(max(X1,X2) ≤ n )P(max(X1,X2) ≤n1) =P(X1≤ n, X2≤n)P( X1 ≤ n1, X2 ≤ n1) 2111 ][?????nkkpq22 ]11[qqp n???2)1( nq??212 ]11[qqp n??? ?21 )1( ??? nq)2( 11 ?? ??? nnn qqpq 那么要問(wèn)，若我們需要求 Y=min(X1,X2)的分布，應(yīng)如何分析？ 留作同學(xué)課后思考 練習(xí) . 設(shè)系統(tǒng) L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為 (i)串聯(lián)， (ii)并聯(lián)，如圖所示設(shè)L1,L2的壽命分別為 X與 Y，已知它們的概率密度分別為 ?????? ?000)(xxexf xX???????? ?000)(yyeyf yY??其中 ?0， ?0,試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出 L的壽命 Z的概率密度． 這一講，我們介紹了求隨機(jī)向量函數(shù)的分布的原理和方法，需重點(diǎn)掌握的是： 已知兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，會(huì)求其函數(shù)的概率分布 ； 會(huì)根據(jù)多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的概率分布．
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