【正文】 產(chǎn)生 )(nO個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，相對(duì)于隨機(jī)高斯 /伯努力 矩陣，所需的存儲(chǔ)空間大大減少；（ 2） 矩陣向量乘法可通過快速傅里葉變換高效實(shí)現(xiàn)，從而降低了相應(yīng)測(cè)量和重建過程的時(shí)間復(fù)雜度。 結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣 由于 Gauss 矩陣與 Bernoulli 矩陣隨機(jī)性較強(qiáng) ， 確定性矩陣難以證明具有階壓縮感知基本理論 17 數(shù)較好的 RIP 性質(zhì) 。 我們將介紹介于確定與隨機(jī)矩陣之間的一種矩陣 ： 結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣 。 與確定性矩陣相比 ， 結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣多了些隨機(jī)性 ， 因而可以證明其具有較好的 RIP 性質(zhì) ， 同時(shí) ， 結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣的隨機(jī)性較弱 ， 一般僅具有行隨機(jī) 。更為重要的是 ， 在很多實(shí)際應(yīng)用中 ， 觀測(cè)矩陣為一結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣 。 三類壓縮感知觀測(cè) 矩陣效果對(duì)比 如 表 31。 表 31 壓縮感知觀測(cè)矩陣 效果 對(duì)比 壓縮感知觀測(cè)矩陣 隨機(jī)矩陣 確定性矩陣 結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣 RIP 特性 強(qiáng) 弱 中 普適性 強(qiáng) 弱 中 存儲(chǔ)空間 很大 大大減少 中 構(gòu)造復(fù)雜度 高 低 中 重建算法 要精確重建原始信號(hào)，首先要保證觀測(cè)矩陣 ? 滿足 RIP 條件，在此前提下，我們可以先通過求解 0l 范數(shù)下的最優(yōu)化問題，得到原始信號(hào) X 在變換域的稀疏表示系數(shù) ? ， 得到稀疏系數(shù)之后，將其變換為原始信號(hào) ???X ，完成數(shù)據(jù)重建 。 對(duì)原始信號(hào)的重建過程可以視作是 0l 范數(shù)下的最優(yōu)化問題： ??? ? ???? CSl AYts .m i n 0 (38) 由于觀測(cè)值 Y 的維數(shù) M 遠(yuǎn)小于稀疏系數(shù) ? 的維數(shù) N ，所以這是一個(gè)NPHard 問題，想要求解該問 題，則必須將稀疏系數(shù) ? 中非零值的 KNC 種 可能一一列舉 ， 即使用窮舉法求解，然而這種方式會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間，換言之，我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中不能直接根據(jù)上式來(lái)求解 [44]。但是可以證明，最小 1l 范數(shù)和最小 0l范數(shù)能夠在一定條件下互相轉(zhuǎn)化，具有等價(jià)性 [45]。那么 式 (38)可 轉(zhuǎn)化為 1l 最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題： ??? ? ???? CSl AYts .m i n 1 (39) 以下將介紹幾種典型的重建算法： 基追蹤法 由于最小 0l 范數(shù)問題為 NPhard 問題 ，可將問題轉(zhuǎn)換為 1l 范數(shù)問題 [46]： ?????? CSl AXYtsXX .m i n 1*^ (310) 這個(gè)問題是一個(gè)凸優(yōu)化問題，我們可以把這個(gè)凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性規(guī) 劃（ LP）問 題加以求解，稱為基追蹤 （ Basis Pursuit， BP） [47]方法。 壓縮感知基本理論 18 線性 規(guī)劃問題求解思路如下 [48]： 將 式 (38)進(jìn)行 如下變換： ? ? ? ? YbAAARs CSCSNT ????? 。,。1,1,1 2? (311) 其中 s 為線性規(guī)劃的初始參數(shù)， A 為線性規(guī)劃的系統(tǒng)函數(shù)， b 為測(cè)量值。該算法將待恢復(fù)數(shù)據(jù)分為正負(fù)兩部分進(jìn)行重建，重建完成后將結(jié)果相加得到恢復(fù)的稀疏系數(shù)。 BP 算法 是一種 全局最優(yōu)化算法，它能夠很穩(wěn)定的分解信號(hào)， 需要的測(cè)度最少，但缺點(diǎn)是復(fù)雜性高 ，復(fù)雜性高意味著在進(jìn)行重建時(shí)需要大的計(jì)算量從而會(huì)影響重建速度，這個(gè)缺點(diǎn)使得 BP 算法 在很多場(chǎng)合并不適 用。如果考慮誤差，我們可以將上述問題 進(jìn)一步轉(zhuǎn)化如下： ??????2*^ .m i n1 XYtsXX l (312) 轉(zhuǎn)化后的問題可以用二階圓錐規(guī)劃解決 [41]。 匹配追蹤 法 匹 配追蹤（ MP）算法 屬于貪 婪算法，其 基本思想是在每一次的迭代過程中，先從觀測(cè)矩陣中選取與信號(hào)最匹配的列向量進(jìn)行稀疏逼近，同時(shí)計(jì)算出信號(hào)余量，接著繼續(xù)選取與余量最為匹配的列向量進(jìn)行稀疏，亦計(jì)算余量。反復(fù)迭代之后，信號(hào)便可以由這些選中 的列向量進(jìn)行線性表示，如此便可得到重建結(jié)果。雖然 MP 算法可以重建出原始信號(hào)，但是由于這種挑選原子（觀測(cè)矩陣列向量）的方式有其不足之處，信號(hào)在已選 定原子集合上的投影并不具有正交性，這種非正交性帶來(lái)的影響是無(wú)法保證每次迭代結(jié)果都最優(yōu)，因而有時(shí)要經(jīng)歷多次迭代才能獲得好的重建質(zhì)量。 該算法解決的是 0l 范數(shù)下的最優(yōu)化問題： ? ? ???? Ytsl .m in 0 (313) 若考慮重建誤差，并將觀測(cè)矩陣 ? 與稀疏化矩陣 ? 的乘積看作壓縮感知的恢復(fù)算子 CSA （即 ???CSA ）可將 式 (313)轉(zhuǎn) 化為如下的近似形式： ?????? 0 CSl AYts (314) 其基本思想是：采用貪婪迭代的方法選擇恢復(fù)算子 CSA 的列向量（原子），對(duì)所選原子的要求是：每次選中的原子都要與當(dāng)前的冗余向量具有最大相關(guān)性，按此方式進(jìn)行反復(fù)迭代處理，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá) 到稀疏度 K 時(shí)，終止迭代。 算法具體步驟如下： 已知條件：采樣向量 Y ，觀測(cè)矩陣 ? ，稀疏化矩陣 ? ，恢復(fù)算子 ???CSA ，壓縮感知基本理論 19 稀疏度 K ； 初始化：殘差 Yr?0 ，索引集 ???0 ，重建原子集合 ???0 ， 1?t ； （ 1）計(jì) 算殘差 r 和恢復(fù)算子列向量 jA 的內(nèi)積，找出內(nèi)積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的索引? ，即 jtNji Ar ,m a xa rg 11 ??? ?? ； （ 2）更 新索引集 ? ?ttt ??1???? ，將找到的原子（恢復(fù)算子列向量）tA?添加至重建原子集合 ? ?jAtt ??1????； （ 3）更 新殘差 ttt Yr ^???? ，迭代次數(shù)累加 1??tt ； （ 4）判 斷迭代終止條件，如果 Kt? ，結(jié)束迭代；否則，繼續(xù)回到執(zhí)行步驟（ 1）； 輸出：信號(hào) X 的 K稀疏系數(shù) ? 。 正交匹配追蹤 法 正交匹配追蹤 （ Orthogonal Matching Pursuit， OMP） [49]算法是 在 MP 算 法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，該算法有效解 決了 MP 算法中 信號(hào)在選定原子集合上的投影非正交性的問題 。 OMP 算法依然 使用 MP 算法 挑選原子的方式，即在每次迭代時(shí)得到一個(gè)原子，不過該算法還會(huì)對(duì)選定原子集合通過遞歸保證正交化，通過正交化可以保證單次迭代的最優(yōu)性，這樣可以減少迭代次數(shù)，且性 能優(yōu)于MP 算 法。 由于具有正交性，可根據(jù)選出的原子 從觀測(cè)矩陣 ? 的向量中去掉相關(guān)部分，按此方式進(jìn)行反復(fù)迭代處理，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到稀 疏度 K 時(shí) ，終止迭代。 算法具體步驟如下： 已知條件：采樣向量 Y ，觀測(cè)矩陣 ? ，稀疏化矩陣 ? ，恢復(fù)算子 ???CSA ，稀疏度 K ； 初始化：殘差 Yr?0 ，索引集 ???0 ，重建原子集合 ???0 ， 1?t ； （ 1） 計(jì)算殘差 r 和恢復(fù)算子列向量 jA 的內(nèi)積，找出內(nèi)積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的索引? ，即 jtNji Ar ,m a xa rg 11 ??? ?? ； （ 2） 更新索引集 ? ?ttt ??1???? ，將找到的原子（恢復(fù)算子列向量）tA?添加至重建原子集合 ? ?jAtt ??1????； （ 3）利用最小二乘得到2^^ m ina rg ?????tt Y； （ 4） 更新殘差 ttt Yr ^???? ，迭代次數(shù)累加 1??tt ； （ 5） 判斷迭代終止條件，如果 Kt? ，結(jié)束迭代；否則，繼續(xù)回到執(zhí)行步驟（ 1） ； 輸出：信號(hào) X 的 K稀 疏系數(shù) ? 。 為了進(jìn)一步說明上述三種恢復(fù)算法在不同欠采樣率 時(shí)恢復(fù)效果的優(yōu)劣，本節(jié)將以基于 壓縮感知理論的 溶液 氟 離子濃度批量檢測(cè) 作為實(shí)例，對(duì)其進(jìn)行一維壓縮感知基本理論 20 信號(hào)的重建仿真 并對(duì)重建結(jié)果進(jìn)行分析 。 取 200?N 個(gè)含有氟離子溶液，使用高斯隨機(jī)矩陣對(duì)其進(jìn)行壓縮觀測(cè)，為了對(duì)比不同 欠采樣率 對(duì)恢復(fù)效 果的影 響， 壓縮 觀測(cè)組數(shù) M 分別取, ????? NNNNN ，即欠采樣率 為 10%、 20%、 30%、 40%、50%。 由于在實(shí)際樣品檢測(cè)中，樣品量有限，為防止在檢測(cè)尚未完成時(shí)樣品已耗盡，需對(duì)上述生成矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)化： ? ??? ???? m ax ,m ax, MV jis ji 上式 M 為 壓縮觀測(cè)組數(shù) ，為了對(duì)比不同欠采樣率對(duì)恢復(fù)效果的影響， M 分別取 ， maxV 為待測(cè)樣本的最大容量， 本實(shí)例取值為 1ml。 根據(jù) 物質(zhì)的量計(jì)算公式： cVn? （ 其中 ： n 為離子物質(zhì)的量、 c 為離子物質(zhì)的量濃度、 V 為 液體總?cè)萘?） ，將 壓縮觀測(cè)所得的 氟離子濃度值 ??Misiy 1? 乘以? ? ?? ???? Nj s jiVM 1m a x ,/m a x 轉(zhuǎn) 換 為 適 用 于 恢 復(fù) 算 法 的 壓 縮 觀 測(cè) 向 量? ? MTM RyyyY ?? , 21 ? 后分別使用匹 配追蹤法（ MP）、正交匹配追蹤（ OMP）和 基追蹤（ BP）對(duì)其進(jìn)行恢復(fù)。 圖 35 為 MP、 OMP 和 BP 恢復(fù)算法在 10%、 20%、 30%、 40%和 50%欠采樣率下的恢復(fù)數(shù)據(jù)，圖中藍(lán)色點(diǎn)為實(shí)際氟離子濃度， 紅色點(diǎn)為通過壓縮觀測(cè)和恢復(fù)算法得到的氟離子濃度。 觀察可知，在欠采樣率較低時(shí)，恢復(fù)數(shù)據(jù)有很大波動(dòng)，隨著欠采樣率增大， 恢復(fù)數(shù)據(jù)逐漸收斂于實(shí)際氟離子濃度。 當(dāng)欠采樣率達(dá) 到 30%時(shí) ，三種恢復(fù)算法均可恢復(fù)出較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。 MP OMP BP 10% 20% 30% 壓縮感知基本理論 21 40% 50% 圖 35 MP、 OMP 和 BP 在 10%、 20%、 30%、 40%和 50%欠采樣率下的 恢復(fù) 數(shù)據(jù) MP、 OMP、 BP 恢復(fù)算法均方根誤差如 圖 36 所示，在欠 采樣率較低時(shí)，均方根誤差隨欠采樣率升高而迅速下降，在欠采樣率較高時(shí)，均方根誤差隨欠采樣率 的變化趨于 平緩 ，三種恢復(fù) 算法在 10%、 20%、 30%、 40%和 50%的欠采樣率時(shí)恢復(fù)效果沒有明顯差異 。 恢復(fù)實(shí)驗(yàn)選 取了 MATLAB2021b 版本，實(shí)驗(yàn)計(jì)算機(jī)型號(hào)為聯(lián)想 Y460；處理器 Intel CoreTM i5 CPU， M 480 @ ，內(nèi)存為 。 MP、 OMP、 BP 恢復(fù)算法 運(yùn)算時(shí) 間如 圖 37 所示， 三種恢復(fù)算法的運(yùn)算時(shí)間均隨著欠采樣率的升高而變長(zhǎng) ， 利用 BP 算法恢復(fù) 10%、 20%、 30%、 40%和 50%欠采樣率數(shù)據(jù)的運(yùn)算時(shí)間均大于 MP 和 OMP 算法的運(yùn)算時(shí)間 ， 且 BP 算法的運(yùn)算時(shí)間 隨欠采樣率升高的 變化量明顯大于 MP 和 OMP 算法。 圖 36 MP、 OMP、 BP 恢復(fù)算法均方根誤差 010% 20% 30% 40% 50%均方根誤差MSE 欠采樣率 MP、 OMP、 BP恢復(fù)算法均方根誤差 MPOMPBP壓縮感知基本理論 22 圖 37 MP、 OMP、 BP 恢復(fù)算法 運(yùn)算時(shí)間 本章小結(jié) 本章主要介紹了壓縮感知理論的基本框架：稀疏表示、壓縮觀測(cè)和恢復(fù)算法 ， 并結(jié) 合 lena 圖像和批量檢測(cè)溶液氟離子濃度實(shí)例進(jìn)一步說明四種稀疏變換的效果和三種恢復(fù)算法的性能，結(jié) 論如下：（ 1）離散傅立葉變換、離散余弦變換和 3 層 haar 小波變換對(duì)于二維圖像具有較好的稀疏性，而 x 方向的有限差分變換稀疏效果較差；（ 2） BP、 MP 和 OMP 三種恢復(fù)算法的恢復(fù)效果沒有明顯差異， BP 算法運(yùn)算時(shí)間多于 MP 和 OMP 算法。 010% 20% 30% 40% 50%恢復(fù)時(shí)間 單位s 欠采樣率 MP、 OMP、 BP恢復(fù)算法運(yùn)算時(shí)間 MPOMPBP基于 CS 理論的 MRI 技術(shù) 23 第 4 章 基于 CS 理論的 MRI 技術(shù) MRI 技術(shù)具有無(wú)輻射危 害，對(duì)比分辨率高、多方位、多參數(shù)采集及功能成像等優(yōu)勢(shì)，但 MRI 技術(shù)也是一種成像速度相對(duì)較 慢的醫(yī)學(xué)檢測(cè)技術(shù)，因此如何快速獲取數(shù)據(jù)一直是該領(lǐng)域的熱門問題。一些研究者致力于通過提高硬件來(lái)縮短掃描時(shí)間。近年來(lái)，利用壓縮感知理論， 研究者證明了利用圖像的稀疏性先驗(yàn)知識(shí)，通過求解相應(yīng)的優(yōu)化問題能夠有效地縮短掃描時(shí)間，進(jìn)而加快成像速度 [50]。 K 空間的欠采樣填充軌跡 對(duì)于加速成像，有多種實(shí)現(xiàn)方法，其中主要分為基于快速成像序列的加速和基于 K 空間 欠采樣填充 的加速。 基于快速成像序列的 多回波 SE 序列和快速自旋回波 序列（ fast spin echo，F(xiàn)SE）是 在一個(gè) RT 周期中，一 次 RF 激發(fā)后施加多次 180176。脈 沖。但是， 多回波SE 序列對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)相 位編碼，不能用于同一幅圖 像，而 FSE 的每個(gè) 回波對(duì)應(yīng)不同的相位編碼梯度 ，所以采集的信號(hào)對(duì)應(yīng)的是一幅圖像。 之后 ，結(jié)合 半傅立葉數(shù)據(jù)采集技術(shù) ， 對(duì) FSE 采樣方法進(jìn)行了 拓展 ， 出現(xiàn)了半傅立葉采集單次激勵(lì)快速自旋回波序列， 使一幅 256 256 矩陣 圖像在一秒內(nèi)便可采集完畢。 迂回平行軌跡稱為回 波平面成像（ echo planar imaging， EPI）屬于 笛卡爾采樣軌跡，可以在極